R / mgcv: ¿Por qué los productos tensoriales te () y ti () producen superficies diferentes?

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El mgcvpaquete Rtiene dos funciones para ajustar las interacciones del producto tensorial: te()y ti(). Entiendo la división básica del trabajo entre los dos (ajustar una interacción no lineal versus descomponer esta interacción en efectos principales y una interacción). Lo que no entiendo es por qué te(x1, x2)y ti(x1) + ti(x2) + ti(x1, x2)puede producir resultados (ligeramente) diferentes.

MWE (adaptado de ?ti):

require(mgcv)
test1 <- function(x,z,sx=0.3,sz=0.4) { 
  x <- x*20
 (pi**sx*sz)*(1.2*exp(-(x-0.2)^2/sx^2-(z-0.3)^2/sz^2)+
             0.8*exp(-(x-0.7)^2/sx^2-(z-0.8)^2/sz^2))
}
n <- 500

x <- runif(n)/20;z <- runif(n);
xs <- seq(0,1,length=30)/20;zs <- seq(0,1,length=30)
pr <- data.frame(x=rep(xs,30),z=rep(zs,rep(30,30)))
truth <- matrix(test1(pr$x,pr$z),30,30)
f <- test1(x,z)
y <- f + rnorm(n)*0.2

par(mfrow = c(2,2))

# Model with te()
b2 <- gam(y~te(x,z))
vis.gam(b2, plot.type = "contour", color = "terrain", main = "tensor product")

# Model with ti(a) + ti(b) + ti(a,b)
b3 <- gam(y~ ti(x) + ti(z) + ti(x,z))
vis.gam(b3, plot.type = "contour", color = "terrain", main = "tensor anova")

# Scatterplot of prediction b2/b3
plot(predict(b2), predict(b3))

Las diferencias no son muy grandes en este ejemplo, pero me pregunto por qué debería haber diferencias.

Información de la sesión:

 > devtools::session_info("mgcv")
 Session info
 -----------------------------------------------------------------------------------
 setting  value                       
 version  R version 3.3.1 (2016-06-21)
 system   x86_64, linux-gnu           
 ui       RStudio (0.99.491)          
 language en_US                       
 collate  en_US.UTF-8                 
 tz       <NA>                        
 date     2016-09-13                  

 Packages      ---------------------------------------------------------------------------------------
 package * version date       source        
 lattice   0.20-33 2015-07-14 CRAN (R 3.2.1)
 Matrix    1.2-6   2016-05-02 CRAN (R 3.3.0)
 mgcv    * 1.8-12  2016-03-03 CRAN (R 3.2.3)
 nlme    * 3.1-128 2016-05-10 CRAN (R 3.3.1)
r gam mgcv conditional-probability mixed-model references bayesian estimation conditional-probability machine-learning optimization gradient-descent r hypothesis-testing wilcoxon-mann-whitney time-series bayesian inference change-point time-series anova repeated-measures statistical-significance bayesian contingency-tables regression prediction quantiles classification auc k-means scikit-learn regression spatial circular-statistics t-test effect-size cohens-d r cross-validation feature-selection caret machine-learning modeling python optimization frequentist correlation sample-size normalization group-differences heteroscedasticity independence generalized-least-squares lme4-nlme references mcmc metropolis-hastings optimization r logistic feature-selection separation clustering k-means normal-distribution gaussian-mixture kullback-leibler java spark-mllib data-visualization categorical-data barplot hypothesis-testing statistical-significance chi-squared type-i-and-ii-errors pca scikit-learn conditional-expectation statistical-significance meta-analysis intuition r time-series multivariate-analysis garch machine-learning classification data-mining missing-data cart regression cross-validation matrix-decomposition categorical-data repeated-measures chi-squared assumptions contingency-tables prediction binary-data trend test-for-trend matrix-inverse anova categorical-data regression-coefficients standard-error r distributions exponential interarrival-time copula log-likelihood time-series forecasting prediction-interval mean standard-error meta-analysis meta-regression network-meta-analysis systematic-review normal-distribution multiple-regression generalized-linear-model poisson-distribution poisson-regression r sas cohens-kappa jvh_ch
fuente
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¿En serio la gente? Si bien la implementación es claramente una cuestión específica de mgcv (no conozco ningún otro software estándar para GAM que permita esta descomposición similar a ANOVA de suavizados bivariados), el problema y la respuesta son claramente estadísticos; los modelos que se están ajustando no son los mismos bajo el capó debido a las matrices de penalización adicionales que surgen al descomponer los términos marginales del componente de "interacción". Esto no es específico de mgcv.
Gavin Simpson
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@GavinSimpson He planteado una pregunta en Meta sobre la actualidad, o de lo contrario, de esta pregunta
Silverfish

Respuestas:

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Estos son superficialmente el mismo modelo, pero en la práctica, cuando se ajusta, existen algunas diferencias sutiles. Una diferencia importante es que el modelo con ti()términos está estimando más parámetros de suavidad en comparación con el te()modelo:

> b2$sp
te(x,z)1 te(x,z)2 
3.479997 5.884272 
> b3$sp
    ti(x)     ti(z)  ti(x,z)1  ti(x,z)2 
 8.168742 60.456559  2.370604  2.761823

y esto se debe a que hay más matrices de penalización asociadas con los dos modelos; en el ti()modelo tenemos uno por "término" en comparación con solo dos en el te()modelo, uno por marginal liso.

Veo modelos ti()que se usan para decidir si quiero o . No puedo comparar esos modelos si uso términos, así que los uso . Una vez que he determinado si necesito puedo reajustar el modelo con si lo necesito o con separado para cada efecto marginal si no necesito .y^=β0+s(x,y)y^=β0+s(x)+s(y)te()ti()s(x,y)te()s()s(x,y)

Tenga en cuenta que puede acercar los modelos un poco entre sí mediante el uso de method = "ML"(o "REML", pero no debería comparar los efectos "fijos" a "REML"menos que todos los términos estén totalmente penalizados, lo que por defecto no lo son, pero se diría con select = TRUE).

Gavin Simpson
fuente