En la ciencia computacional, a menudo encontramos grandes sistemas lineales que debemos resolver por algunos medios (eficientes), por ejemplo, ya sea por métodos directos o iterativos. Si nos centramos en esto último, ¿cómo podemos establecer que un método iterativo para resolver un sistema lineal...
Considere una simétrica definida positiva tridiagonal sistema lineal , donde A ∈ R n × n y b ∈ R n . Dados tres índices 0 ≤ i < j < k < n , si asumimos que solo las filas de ecuaciones estrictamente entre i y k se mantienen, podemos eliminar variables intermedias para obtener una...
Tengo un sistema lineal no homogéneo A x = bAx=b Ax=b donde es una matriz real n × n con n ≤ 4 . Se garantiza que el espacio nulo de A es de dimensión cero, por lo que la ecuación tiene un inverso único x = A - 1 b . Dado que el resultado entra en el lado derecho de una EDO, que tengo la...
¿Existe un algoritmo SVD truncado que calcula los valores singulares uno a la vez? Mi problema: me gustaría calcular los primeros kkk valores singulares (y vectores singulares) de una gran matriz densa MMM , pero no sé cuál sería un valor apropiado de kkk . MMM es grande, por lo que por razones de...
¿Cómo MATLAB, por ejemplo, calcula la SVD de una matriz dada? Supongo que la respuesta probablemente implica calcular los vectores propios y los valores propios de A*A'. Si ese es el caso, también me gustaría saber cómo los
Según tengo entendido, el método de cuadrícula múltiple resuelve un sistema lineal resolviendo una versión más gruesa del mismo problema (eliminando el error de baja frecuencia) y luego proyectando de nuevo a la cuadrícula fina para suavizar los errores de alta frecuencia. Para sistemas grandes,...
Suponga que A∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n} es una matriz simétrica definida positiva. AAA es lo suficientemente grande como para resolver Ax=bAx=bAx=b directamente. ¿Existe un algoritmo iterativo para encontrar el valor propio más pequeño de AAA que no implique invertir AAA en cada...
Suponiendo que uno desee estudiar algebra lineal numérica en profundidad (y seguir revistas sobre álgebra lineal numérica y teoría de matrices), lo que sería un mejor curso / mejor libro para comenzar al principio: Con Hoffman y Kunze con pruebas y rigor (no tengo problemas con las matemáticas...
Dado un conjunto arbitrario de (numéricos) matrices complejas cuadrados A={A1,A2,⋯,Am}A={A1,A2,⋯,Am}\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\} , estoy interesado en el cálculo de la álgebra de Lie matriz real generada por AA\mathcal{A} , llamarlo LALA\mathcal{L_\mathcal{A}} . Es decir, me gustaría una base...
Tengo una lista de matrices simétricas que necesito verificar para una semi-definición positiva (es decir, sus valores propios no son negativos).LL{\cal L} El comentario anterior implica que uno podría hacerlo calculando los valores propios respectivos y verificando si son no negativos (tal vez...
Dado el sistema donde A ∈ R n × n , leí que, en caso de que la iteración de Jacobi se use como solucionador, el método no convergerá si b tiene un componente distinto de cero en el espacio nulo de A . Entonces, ¿cómo podría uno declarar formalmente eso, siempre que b tenga un componente distinto de...
¿Existe una forma más rápida de calcular errores estándar para problemas de regresión lineal, que invirtiendo ? Aquí supongo que tenemos regresión:X′XX′XX'X y=Xβ+ε,y=Xβ+ε,y=X\beta+\varepsilon, donde es n × k matriz e y es n × 1 vector.XXXn×kn×kn\times kyyyn×1n×1n\times 1 Para encontrar la...
En el libro de Nocedal & Wright sobre optimización numérica, hay una declaración en la sección 2.2 (página 27): "En términos generales, es más fácil preservar la invariancia de escala para los algoritmos de búsqueda de línea que para los algoritmos de región de confianza". En esa misma sección,...
El producto complejo interior tiene dos definiciones diferentes decididas por convenciones: ˉ u T v o u T ˉ v . En BLAS, encontré las rutinas cdotu, zdotu y cdotc, zdotc. Las dos primeras rutinas en realidad calculan u T v (¡un producto interno falso!) Y las dos últimas rutinas conjugan el primer...
12×1212×1212 \times 12QQQdet(Q)=det(12I−Q−J)(1)det(Q)=det(12I−Q−J)(1)\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)JJJ Actualmente estoy haciendo esto con la biblioteca de armadillo , pero resulta ser demasiado lento. La cuestión es que necesito hacer esto por un billón de matrices y resulta que calcular los...
Estoy haciendo una diagonalización de Lanczos de una gran matriz dispersa (~ 2 millones de elementos). Casi todos los pasos del algoritmo de Lanzcos se realizan en paralelo en la GPU, excepto la diagonalización de la matriz de Lanczos para verificar la convergencia. Para eso, he estado usando el...
Suponga que la siguiente matriz se da con su transpuesta . El producto rinde ,[ 0.500 - 0.333 - 0,167 - 0.500 0,667 - 0,167 - 0.500 - 0.333 0.833 ] A T A T A = G [ 0,750 - 0,334 - 0.417 - 0,334 0,667 - 0,333 - 0.417 - 0.333 0.750
¿Alguien podría recomendar un método para el siguiente problema de mínimos cuadrados: encuentre que minimiza: , donde R es unitario (rotación) matriz.R∈R3×3R∈R3×3R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}∑i=0N(Rxi−bi)2→min∑i=0N(Rxi−bi)2→min\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \minRRR Podría obtener...
Supongamos que A es una matriz dispersa general, y quiero calcular los valores propios. No sé cómo detectar la multiplicidad de los valores propios. Hasta donde yo sé, para un caso especial, encontrar las raíces polinómicas mediante el método de matriz complementaria, podemos aplicar RRQR para...
Tengo una matriz cuadrada simétrica real densa. La dimensión es de aproximadamente 1000x1000. Necesito calcular el primer componente principal y preguntarme cuál sería el mejor algoritmo para hacerlo. Parece que MATLAB usa los algoritmos Arnoldi / Lanczos (para eigs). Pero al leer sobre ellos, no...