Prueba si una matriz es positiva semi-definida

Tengo una lista de matrices simétricas que necesito verificar para una semi-definición positiva (es decir, sus valores propios no son negativos).${\cal L}$

El comentario anterior implica que uno podría hacerlo calculando los valores propios respectivos y verificando si son no negativos (tal vez teniendo que ocuparse de los errores de redondeo).

Calcular los valores propios es bastante costoso en mi escenario, pero he notado que la biblioteca que estoy usando tiene una prueba bastante rápida para la definición positiva (es decir, si los valores propios de una matriz son estrictamente positivos).

Por lo tanto, la idea sería que, dada una matriz , se prueba si B + ϵ I es positivo definido. Si no lo es, entonces B no es positivo semi-definido, de lo contrario uno puede calcular los autovalores de B para asegurarse de que sea positivo semi-definido.$B \in {\cal L}$$B + \epsilon I$$B$$B$

Mi pregunta ahora es:

¿Existe una forma más directa y eficiente de evaluar si una matriz es positiva y semiterminada, siempre que se proporcione una prueba eficiente para la definición positiva?

¿Cuál es su definición de trabajo de "semidefinido positivo" o "definitivo positivo"? En aritmética de coma flotante, tendrá que especificar algún tipo de tolerancia para esto.

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

$-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

Desafortunadamente, calcular todos los valores propios de una matriz lleva bastante tiempo. Otro enfoque comúnmente utilizado es que una matriz simétrica se considera positiva definida si la matriz tiene una factorización de Cholesky en aritmética de coma flotante. Calcular la factorización de Cholesky es un orden de magnitud más rápido que calcular los valores propios. Puede extender esto a semidefinición positiva agregando un pequeño múltiplo de la identidad a la matriz. Nuevamente, hay problemas de escala. Un enfoque rápido es hacer una escala simétrica de la matriz para que los elementos diagonales sean 1.0 y agregar a la diagonal antes de calcular la factorización de Cholesky. $\epsilon$

Sin embargo, debe tener cuidado con esto, porque hay algunos problemas con el enfoque. Por ejemplo, hay circunstancias en las que y son positivos definidos en el sentido de que tienen factorizaciones de Cholesky de punto flotante, pero no tiene una factorización de Cholesky. Por lo tanto, el conjunto de "matrices definidas positivas factorizables de Cholesky de coma flotante" no es convexo. B ( A + B ) /$A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr, TH, " Pruebas de matrices para la definición y ejemplos de aplicación que generan la necesidad ", AIAA Journal of Guidance , Control, and Dynamics, vol. 10, N ° 5, págs. 503-506, septiembre-octubre de 1987.

• Kerr, TH, " Sobre incorrecciones de la prueba para matrices semidefinidas positivas ", AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 13, núm. 3, págs. 571-572, mayo-junio. 1990. (como ocurrió en el software Navigation & Target Tracking en las décadas de 1970 y 1980 usando contraejemplos)

• Kerr, TH, " Falacias en las pruebas computacionales de la definición positiva / semidefinición de matriz ", Transacciones IEEE en sistemas aeroespaciales y electrónicos , vol. 26, núm. 2, págs. 415-421, marzo de 1990. [Enumera algoritmos falaces que el autor descubrió que existían habitualmente en el software de navegación y sonoboyas de la Marina de los EE. UU. A fines de los años 70 y principios de los 80 usando contraejemplos para señalar los problemas. ]