Definiciones y cosas:
Considere un espacio de probabilidad filtrado donde(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)
T>0
P=P~
Esta es una medida neutral al riesgo .
Ft=FWt=FW~t
donde es el movimiento estándar P = ˜ P- Brown.W= W~= { Wt~}t ∈ [ 0 , T]= { Wt}t ∈ [ 0 , T]P = P~
Considere dondeMETRO= { Mt}t ∈ [ 0 , T]
METROt: = exp( - ∫t0 0rsres )PAGS( 0 , t )
Defina la medida directa :Q
reQrePAGS: = MT= exp( - ∫T0 0rsres )PAGS( 0 , T)
donde es un proceso de velocidad corta y { P ( t , T ) } t ∈ [ 0 , T ]{ rt}t ∈ [ 0 , T]{ P( t , T) }t ∈ [ 0 , T] es el precio del bono en el momento t.
Se puede demostrar que es un ( F t , P ) - martingala donde la dinámica del precio de los bonos se da como:{ exp( - ∫t0 0rsres ) P( t , T) }t ∈ [ 0 , T]( Ft, P ) -
rePAGS( t , T)PAGS( t , T)= rtret + ξtreWt
dónde
y ξ t estánadaptadas a F trtξtFt
satisface la condición de Novikov (no creo ξ t se supone que representa nada en particular)ξtξt
Problema:
Definir el proceso estocástico stWQ= ( WQt)t ∈ [ 0 , T]
WQt: = Wt- ∫t0 0ξsres
Usa el teorema de Girsanov para demostrar:
WQt Es un movimiento Q- Brown estándar .
Lo que probé:
Como satisface la condición de Novikov,ξt
∫T0 0ξtret < ∞ como → ∫ T0 0−ξtdt<∞ a.s.
→Lt:=exp(−∫t0(−ξsdWs)−12∫t0ξ2sds)
es un martingala.(Ft,P)−
Por el teorema de Girsanov,
WQt is standard P∗ -Brownian motion, where
dP∗dP:=LT
Supongo que tenemos que es estándar Q -Brownian Motion si podemos demostrar queWQtQ
LT=dQdP
Perdí mis notas, pero creo que pude mostrar usando el lema de Ito que
dLt=LtξtdWt
dMt=MtξtdWt
De aquellos deduzco que
d(lnLt)=d(lnMt)
→Lt=Mt
→ LT= MT
QED
¿Está bien?
Respuestas:
(Al observar la pregunta y la notación más de cerca, la formulación parece ser problemática en dos lugares).
Hecho general
SeaW el movimiento browniano estándar con respecto a la filtración (Ft)t∈[0,T] . Considere (Lt)t∈[0,T] definido por
dLtLt=ψtdLt,L0=1.
En general,Lt=e∫t0ψsdWs−12∫t0ψ2sds es una súper martingala. Bajo algunas condiciones (por ejemplo, la condición de Novikov),Lt es una martingala y se puede definir una medida de probabilidadQ por
dQdP=LT.
BajoQ , el proceso
WQt=Wt−∫t0ψsds
es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración(Ft)t∈[0,T] .
Una indicación informal de por qué esto es cierto es la siguiente. ConsidereWλt=Wt+∫t0λsds . Según el teorema de Bayes, Wλ es una Q -martingala si y solo si LWλ es una P -martingala. Ya que
Precio con descuento como densidad de probabilidad
Los supuestos implícitos son que hay un activo subyacente cuyo precioSt sigue a
dStSt=rtdt+σtdWt
bajo el riesgo medida neutralP . La tasa corta(rt) procesos de t ) y volatilidad
σt se adaptan con suficiente regularidad para que existan las integrales. (Para que esto sea cierto, la filtración browniana generada por(Wt) bajo la medida neutral de riesgo debe ser la misma que la generada por el movimiento físico browniano bajo la medida física, de modo que se aplique el teorema de representación de Martingala).
En esta configuración de filtración browniana, para cualquier momento, reclamoT XT , la dinámica neutral de riesgo de su precioXt toma la forma
dXtXt=rtdt+ψtdWt.
El proceso(ψt) es la volatilidad del rendimiento deXt , tanto bajo la medida física como neutral al riesgo.
En otras palabras, la dinámica neutral del riesgo del precio descontadoMt=e−∫t0rsdsXt viene dada por
dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
(El precio con descuento de cualquierreclamoT debe seguir una martingala bajo medida neutral de riesgo, sin arbitraje).
Si la condición de Novikov se mantiene, entoncesLT=MTM0 define una densidad Radon-Nikodym
dQdP=LT.
BajoQ , el proceso
Wt−∫t0ψsds
es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración(Ft)t∈[0,T] .
En otras palabras, la recompensa descontadae−∫T0rsdsXT de cualquier T -clama XT , normalizada por su tiempo- 0 precio X0 , puede considerarse como la densidad de Radón-Nikodym de una medida Q . Bajo Q , el movimiento browniano neutral al riesgo ahora tiene una deriva dada por la volatilidad del retorno dXtXt .
Si(Yt) es el precio de un activo negociado, entonces
e−∫t0rsdsYt es un P -martingale. Esto implica que (YtXt) es unaQ -martingala.
Medida Adelante
La medida hacia adelante es un caso especial de arriba dondeXt=P(t,T) es el tiempo- t precio del bono cupón cero maduración a T . En particular, XT=P(T,T)=1 . En la expresión
dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξt es la volatilidad del rendimiento del bono cupón cero.
(Si(rt) es determinista, entonces ξ=0 , y la medida a plazo es la misma que la medida neutral al riesgo. El bono de cupón cero es un activo arriesgado solo cuando la tasa corta es estocástica).
La medida correspondienteQ se define por
dQdP=e−∫T0rsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
Desde
dLtLt=ξtdWt,
se deduce de la discusión general anterior que, bajoQ , el proceso
Wt−∫t0ξsds
es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración(Ft)t∈[0,T] .
(En la pregunta publicada, la martingalaMt debe ser e−∫t0rsdsP(t,T)P(0,T) . Son los precios de los activos con descuento los que son martingales bajo una medida neutral al riesgo).
Comentarios empíricos
La medida de avanceQ tiene la propiedad de que los precios a plazo forman unaQ -martingala.
Supongamos queF(t,T) es el precio a plazo del contrato a término entrado en t con la madurez T . Por no arbitraje (paridad spot-forward, en este caso)
F(t,T)P(t,T)=St
que, después del descuento, es un P -martingale. Entonces F(t,T) es una Q -martingala.
Como el precio a plazoF(t,T)=StP(t,T) P(t,T) d(e−∫t0rsdsP(t,T))e−∫t0rsdsP(t,T)=ξtdWt, P(t,T)
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