Demuestre que

8

Definiciones y cosas:

Considere un espacio de probabilidad filtrado donde(Ω,F,{Ft}t[0,T],P)

  1. T>0
  2. P=P~

Esta es una medida neutral al riesgo .

  1. Ft=FtW=FtW~

donde es el movimiento estándar P = ˜ P- Brown.W=W~={Wt~}t[0,T]={Wt}t[0,T]P=P~

Considere dondeM={Mt}t[0,T]

Mt:=exp(0trsds)P(0,t)

Defina la medida directa :Q

dQdP:=MT=exp(0Trsds)P(0,T)

donde es un proceso de velocidad corta y { P ( t , T ) } t [ 0 , T ]{rt}t[0,T]{P(t,T)}t[0,T] es el precio del bono en el momento t.

Se puede demostrar que es un ( F t , P ) - martingala donde la dinámica del precio de los bonos se da como:{exp(0trsds)P(t,T)}t[0,T](Ft,P)-

dP(t,T)P(t,T)=rtret+ξtreWt

dónde

  1. y ξ t estánadaptadas a F trtξtFt

  2. satisface la condición de Novikov (no creo ξ t se supone que representa nada en particular)ξtξt


Problema:

Definir el proceso estocástico stWQ=(WtQ)t[0,T]

WtQ: =Wt-0 0tξsres

Usa el teorema de Girsanov para demostrar:

WtQ es estándar Q -Movimiento browniano.

Lo que probé:

Como satisface la condición de Novikov,ξt

0 0Tξtret< como  0 0T-ξtret< como

Lt: =Exp(-0 0t(-ξsreWs)-120 0tξs2res)

es un martingala.(Ft,P)

Por el teorema de Girsanov,

WtQ is standard P -Brownian motion, where

dPdP:=LT

Supongo que tenemos que es estándar Q -Brownian Motion si podemos demostrar queWtQQ

LT=dQdP

Perdí mis notas, pero creo que pude mostrar usando el lema de Ito que

  1. dLt=LtξtdWt
  2. dMt=MtξtdWt

De aquellos deduzco que

d(lnLt)=d(lnMt)

Lt=METROt

LT=METROT

QED

¿Está bien?

BCLC
fuente
¿Por qué el precio de los bonos descontado por la tasa corta es una P-martingala? El precio de su bono es un GBM generalizado. Escríbalo como el exponencial de una difusión Ito, uno debería ver que el descuento por la tasa corta no tiene en cuenta la corrección Ito.
Michael
@Michael, ¿estás seguro de que quieres decir que P está en riesgo neutral y no P como en el mundo real?
BCLC
OK veo. Si resuelve el SDE para como un Ito exponencial y luego lo sustituye en M T , verá que el teorema de Girsanov se aplica inmediatamente. Además, d LPtMT ydlnLno son lo mismo en la configuración Ito. En su argumento, uno debería invocar la singularidad de soluciones sólidas de SDE en su lugar. dLLdlnL
Michael
@Michael ¡Gracias! ¿Qué parte del argumento exactamente?
BCLC

Respuestas:

4

(Al observar la pregunta y la notación más de cerca, la formulación parece ser problemática en dos lugares).

Hecho general

Sea W el movimiento browniano estándar con respecto a la filtración (Ft)t[0,T] . Considere (Lt)t[0,T] definido por

dLtLt=ψtdLt,L0=1.
En general,Lt=e0tψsdWs120tψs2dses una súper martingala. Bajo algunas condiciones (por ejemplo, la condición de Novikov),Ltes una martingala y se puede definir una medida de probabilidadQpor
dQdP=LT.
BajoQ, el proceso
WtQ=Wt0tψsds
es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración(Ft)t[0,T] .

Una indicación informal de por qué esto es cierto es la siguiente. Considere Wtλ=Wt+0tλsds . Según el teorema de Bayes, Wλ es una Q -martingala si y solo si LWλ es una P -martingala. Ya que

dLWλ=LdWλ+WλdL+dLdWλ=L(ψ+λ)dt+()dW,
debemos tenerλ=ψ, para queWλsea ​​unmovimientoQBrowniano.

Precio con descuento como densidad de probabilidad

Los supuestos implícitos son que hay un activo subyacente cuyo precio St sigue a

dStSt=rtdt+σtdWt
bajo el riesgo medida neutralP. La tasa corta(rt)procesos de t ) y volatilidad σt se adaptan con suficiente regularidad para que existan las integrales. (Para que esto sea cierto, la filtración browniana generada por(Wt) bajo la medida neutral de riesgo debe ser la misma que la generada por el movimiento físico browniano bajo la medida física, de modo que se aplique el teorema de representación de Martingala).

En esta configuración de filtración browniana, para cualquier momento, reclamo TXT , la dinámica neutral de riesgo de su precioXt toma la forma

dXtXt=rtdt+ψtdWt.
El proceso(ψt)es la volatilidad del rendimiento deXt, tanto bajo la medida física como neutral al riesgo.

En otras palabras, la dinámica neutral del riesgo del precio descontado Mt=e0trsdsXt viene dada por

dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
(El precio con descuento de cualquierreclamoT debe seguir una martingala bajo medida neutral de riesgo, sin arbitraje).

Si la condición de Novikov se mantiene, entonces LT=MTM0 define una densidad Radon-Nikodym

dQdP=LT.
BajoQ, el proceso
Wt0tψsds
es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración(Ft)t[0,T] .

En otras palabras, la recompensa descontada e0TrsdsXT de cualquier T -clama XT , normalizada por su tiempo- 0 precio X0 , puede considerarse como la densidad de Radón-Nikodym de una medida Q . Bajo Q , el movimiento browniano neutral al riesgo ahora tiene una deriva dada por la volatilidad del retorno dXtXt .

Si (Yt) es el precio de un activo negociado, entonces e0trsdsYt es un P -martingale. Esto implica que (YtXt)es unaQ-martingala.

Medida Adelante

La medida hacia adelante es un caso especial de arriba donde Xt=P(t,T) es el tiempo- t precio del bono cupón cero maduración a T . En particular, XT=P(T,T)=1 . En la expresión

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξt es la volatilidad del rendimiento del bono cupón cero.

(Si (rt) es determinista, entonces ξ=0 , y la medida a plazo es la misma que la medida neutral al riesgo. El bono de cupón cero es un activo arriesgado solo cuando la tasa corta es estocástica).

La medida correspondiente Q se define por

dQdP=e0TrsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
Desde
dLtLt=ξtdWt,
se deduce de la discusión general anterior que, bajoQ, el proceso
Wt0tξsds
es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración(Ft)t[0,T].

(En la pregunta publicada, la martingala Mt debe ser e0trsdsP(t,T)P(0,T) . Son los precios de los activos con descuento los que son martingales bajo una medida neutral al riesgo).

Comentarios empíricos

La medida de avance Q tiene la propiedad de que los precios a plazo forman unaQ -martingala.

Supongamos que F(t,T) es el precio a plazo del contrato a término entrado en t con la madurez T . Por no arbitraje (paridad spot-forward, en este caso)

F(t,T)P(t,T)=St
que, después del descuento, es un P -martingale. Entonces F(t,T) es una Q -martingala.

Como el precio a plazo

F(t,T)=StP(t,T)
P(t,T)
d(e0trsdsP(t,T))e0trsdsP(t,T)=ξtdWt,
P(t,T)

Miguel
fuente
Gracias. muuuy estoy en lo cierto? ¿o no?
BCLC
1
Mt
K gracias Michael!
BCLC