Conceptos topológicos en teoría económica.

PREGUNTA: ¿Cuáles son las aplicaciones principales o sistemáticas de las matemáticas posteriores a la década de 1960 a la microeconomía?

Por ejemplo, a fines del siglo XIX, Fisher utilizó por primera vez las ideas matemáticas de Gibbs para construir la teoría moderna de la utilidad. En el siglo XX, Mas-Colell incorporó ideas topológicas para estudiar el equilibrio general. ¿Qué hay de finales del siglo XX, principios del siglo XXI?

Por ejemplo, considere la teoría de grafos dirigidos, la teoría de medidas, la topología, la teoría de categorías y la homología o cohomología moderna, métodos topos, integración funcional, etc.

Nota 1 : se excluye la econometría / estadística, sin modelado. La única matemática moderna utilizada allí es la teoría de la caminata aleatoria y el problema ergódico, resuelto mediante análisis complejo. RW y EP no son específicos de la economía.

Cualquier publicación económica apropiada es una respuesta. Esto incluía también los publicados en revistas no estrictamente económicas, por ejemplo, el Journal of Mathematical Psychology .

Nota 2 : Sí, lo sé, este tipo de trabajo es más raro (no debe confundirse con la oscuridad: algunos son bien conocidos). Eso es lo que hace que sea fácil pasar por alto tal referencia cuando se publica. De ahí la pregunta.

Sospecho firmemente que un área emergente importante para las aplicaciones de la teoría de la medida estará en las técnicas de programación dinámica aproximada. La programación dinámica aproximada (también conocida como "aprendizaje de refuerzo" en la literatura de ciencias de la computación) ha sido la dirección del trabajo de investigación en los últimos 10-20 años de la literatura de programación dinámica. La economía recién ahora está comenzando a adoptar algunos de estos avances. Por ejemplo, sobre la dirección de la literatura de DP, vea la expansión más reciente de la cuarta edición de Bertsekas de su serie de programación dinámica, o el DP aproximado de Powell : Resolviendo la maldición de la dimensionalidad. Los economistas están empezando a aprender algunas de estas herramientas, tanto directa como indirectamente, y sospecho que tendrán un impacto creciente en la literatura en los próximos años. Algunos de los antecedentes analíticos para la convergencia de estos métodos son la topología y los sistemas dinámicos.

Un buen ejemplo de contribución teórica a este tipo de literatura por parte de economistas es Pál y Stachurski (2013), Iteración de función de valor ajustado con contracciones de probabilidad uno (versión no delegada aquí ). Examina ese artículo y podrás ver la importancia de una buena comprensión de la teoría de la medida. El libro Economic Dynamics de Stachurski es en realidad una muy buena exposición de la programación dinámica desde esta perspectiva, desarrollándose a un ritmo que funciona para múltiples niveles de estudiantes graduados / profesionales (creo que la teoría de la medida se presenta formalmente al final, todavía estoy trabajando para esas ideas).

Esperemos que esto responda su pregunta hasta cierto punto. Me temo que la frase "matemáticas posteriores a la década de 1960" es algo ambigua para mí (debido a mi propia falta de conocimiento de la historia de la literatura matemática), así que si me he equivocado completamente, ¡disculpas!

Esto fue demasiado largo para comentar. "Post 1960" parece una barra arbitraria y muy alta para un campo aplicado, incluida la micro teoría. La mayoría de los temas que nombra no se considerarían matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la teoría de la medida comenzó con la tesis de Lebesgue y tiene más de un siglo de antigüedad. La topología es aún más antigua y comenzó con Poincare, que presentó grupos de homología. Ambos son enseñados a estudiantes de pregrado hoy, como el cálculo. (La matemática utilizada por Mas-Colell et al. En GE es el análisis, en lugar de la topología).

La externalidad de los programas de investigación que impulsan las matemáticas modernas desde mediados del siglo XX a la comunidad aplicada es, en el mejor de los casos, indirecta. El punto de vista y las técnicas motivadas, por ejemplo, por la geometría no conmutativa, el programa de Langland, la conjetura de Poincare, la conjetura de Baum-Connes, la conjetura de doble primo (las medallas Fields se han otorgado después de 1960 por el progreso en estos problemas), etc. --- probablemente nunca se verá fuera de las matemáticas. Las finanzas matemáticas, por supuesto, siguen siendo matemáticas, pero eso está bastante alejado del punto de vista económico.

Editar Resulta que, al abordar su pregunta directamente, ha habido aplicaciones de topología a la teoría de la elección social, iniciadas por Chichilnisky, et. Alabama. Aquí hay un documento JET sobre el tema de un topólogo:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Quizás alguien con experiencia en topología pueda comentar más.

Los espacios Loeb se han utilizado para modelar situaciones con un continuo de agentes. Ver http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf y los capítulos de Sun sobre aplicaciones económicas en el libro Análisis no estándar para el matemático de trabajo .

La teoría de la medida se usa ampliamente en el problema de la división equitativa (también conocido como "corte de torta"). Vea los numerosos artículos sobre equidad en las revistas de economía .

Para un ejemplo particular, ver Tatsuro Ichiishi y Adam Idzik, "Asignación equitativa de bienes divisibles", JME 1999 .

Además del trabajo de Chichilnisky mencionado por Michael, otro uso interesante de la topología en la teoría de la elección social aparece en el trabajo de Redekop sobre el teorema de Arrow sobre dominios económicos.

• Redekop, J. (1991). Funciones de bienestar social en dominios económicos restringidos. Journal of Economic Theory, 53, 396–427.
• Redekop, J. (1993a). Dominios económicos inconsistentes con las flechas. Elección social y bienestar, 10, 107-126.
• Redekop, J. (1993b). La topología del cuestionario sobre algunos espacios de preferencias económicas. Revista de Economía Matemática, 22, 479-494.
• Redekop, J. (1993c). Funciones de bienestar social en dominios paramétricos. Elección social y bienestar, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). Teoremas de flecha en entornos económicos. En WA Barnett, H. Moulin, M. Salles y NJ Schofield (Eds.), Elección social, bienestar y ética (págs. 163-185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Teoremas de flechas en bienes mixtos, estocásticos y entornos económicos dinámicos. Elección social y bienestar, 13, 95–112.

El teorema de imposibilidad de Arrow se probó originalmente para un conjunto abstracto de alternativas, lo que permite cada perfil de preferencia posible sobre este conjunto de alternativas. La pregunta que hizo Redekop (y otros) fue: ¿existe un equivalente del teorema de Arrow cuando las alternativas son paquetes de bienes, y el agente tiene preferencias "clásicas" sobre esos bienes (monótonos, convexos, continuos, egoístas, ...).

Más precisamente, la pregunta era si existiría una función de bienestar social que satisfaga los tres axiomas de Arrovia (Independencia de Alternativa Irrelevante, Pareto Débil y No Dictadura) en estos dominios económicos (ver Le Breton, Michel y John A. Weymark ". Capítulo Diecisiete-Arrovian Teoría de la elección social en dominios económicos ". Manual de elección social y bienestar 2 (2011): 191-299 para una gran revisión, en la que se basa esta respuesta).

Aproximadamente, el trabajo de Redekop muestra que, para algunos de esos problemas económicos, si un dominio de preferencias admite una función de bienestar social de Arrovian, el dominio debe ser "pequeño" en algún sentido topológico. Por ejemplo, en Redekop (1991), presenta una ingeniosa topología sobre conjuntos de preferencias que denominó topología de cuestionario y muestra que, en una economía de bienes públicos, si un dominio de preferencias admite una función de bienestar social de Arrovia, entonces el dominio debe no sea denso de acuerdo con esta topología (es decir, el cierre del dominio no contiene un conjunto abierto).