Ecuaciones fundamentales en economía.

Para las otras ciencias es fácil señalar las ecuaciones más importantes que fundamentan la disciplina. Si quiero explicar Economía a un físico, ¿cuáles son las ecuaciones más importantes que subyacen al tema que debo presentar e intentar explicar?

En lugar de proponer ecuaciones específicas, señalaré dos conceptos que conducen a ecuaciones específicas para configuraciones teóricas específicas:

A) Equilibrio
El concepto más fundamental y más incomprendido en economía. La gente mira a su alrededor y ve un movimiento constante: ¿cuán más irrelevante puede ser un concepto que el "equilibrio"? Entonces, el trabajo aquí es transmitir que la Economía modela la observación de que las cosas la mayoría de las veces tienden a "calmarse", así que al caracterizar este "punto fijo", nos da un ancla para comprender los movimientos fuera y alrededor de este equilibrio (que puede estar cambiando, por supuesto).

Es no el caso de que " la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada " (que aquí hay una ecuación fundamental)

pero es el caso de que la oferta tiende a igualar la demanda (de cualquier cosa ) por razones que cualquier economista debería poder presentar de manera convincente a cualquier persona interesada en escuchar (y en el fondo todos tienen que ver con recursos finitos).

Además, al determinar las condiciones para el equilibrio, podemos comprender, cuando observamos divergencia, qué condiciones fueron violadas.

B) Optimización marginal bajo restricciones
En un entorno estático , conduce a la ecuación de cantidades marginales / primeras derivadas de funciones.
Mercado de bienes: el ingreso marginal es igual al costo marginal .
Mercado de insumos: el producto de ingresos marginales es igual a la recompensa marginal (renta, salario).
Etc. (Dejé la "maximización de la utilidad" fuera de la imagen a propósito, porque, aquí primero, tendría que presentar de qué se trata este "índice de utilidad", y cuán locos estamos ( no ), al tratar de modelar humanos " disfrute "a través del concepto de utilidad).

Tal vez podría cubrirlo todo bajo el paraguas "beneficio marginal igual costo marginal" como sugieren otras preguntas:

Los economistas viven en una optimización marginal y la mayoría lo considera evidente. Pero si trata de explicárselo a un extraño, existe una probabilidad respetable de que se opondrá o no estará convencido, en su lugar, por lo general, propone la "optimización promedio" como "más realista", ya que "la gente no calcula derivados" (nosotros no argumentan que sí, solo que sus procesos de pensamiento pueden modelarse como si lo fueran). Entonces, uno debe aclarar su historia sobre la optimización marginal, con ejemplos convincentes y una discusión sobre "por qué no la optimización promedio".

En un contexto intertemporal , conduce a una compensación descontada entre "el presente y el futuro", nuevamente "al margen", comenzando con la "ecuación de Euler en el consumo" , que en su discreta versión determinista dice

... y no se puede evitar el tema de la utilidad, después de todo: es la utilidad marginal del consumo, es una tasa de descuento y es la tasa de interés0 < β < 1 r t + $u'()$$0<\beta<1$$r_{t+1}$

( no consulte el artículo de Wikipedia sobre la ecuación de consumo de Euler, el concepto detrás de esto es mucho más aplicable y fundamental que la aplicación específica que trata el artículo de Wikipedia).

Curiosamente, aunque la economía dinámica es más exigente técnicamente, me parece más intuitivo porque la gente parece entender mucho mejor "lo que ahorre hoy determinará lo que consumirá mañana", que "su salario será el producto de ingresos marginales de todos mano de obra empleada ".

Como ya se ha dicho, la ecuación MÁS fundamental es seguramente:

EDITAR: Esta ecuación es fundamental en términos de la forma en que piensan los economistas. Como se señala en los comentarios a continuación, en términos de ecuaciones fundamentales de modelos económicos, las ecuaciones más fundamentales describen equivalencias entre los usos y suministros de artículos (dinero, bienes, etc.). Estos proporcionan la tensión del lado del costo marginal de esta ecuación.

Agregaría ecuaciones relacionadas con estática comparativa:

• Teorema de la $$V^\prime(y)=f_y(x,y)$$
• Análisis "Delta" , como se describe en Fundamentos del análisis económico de Samuelson: (examina las respuestas de los productores que toman precios en términos de vectores de producción y usos de insumos , a sus precios y , esencialmente preferencia revelada para los productores) $$\Delta p\Delta y-\Delta w\Delta x\geq0$$ $y$$x$$p$$w$
• Preferencia revelada

Si podemos reclamar teóricos del juego o matemáticos cuyas ecuaciones usamos constantemente:

• Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker , especialmente holgura complementaria. No existe una ecuación única para la programación lineal, pero creo que econ también tiene derecho a Kantorovich. \ Estacionariedad: : Viabilidad dual: holgura complementaria: $$\nabla f(x^*) = \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*)$$ $$g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$h_j(x^*) = 0, \mbox{ for all } j = 1, \ldots, l \,\!$$ μ i g i ( x ∗ ) = 0 , $$\mu_i \ge 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$\mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m.$$
• Equilibrio de Nash $$\theta_{i}^\star = \arg \max_{\theta_i} u_i(\theta_i ,\theta_{-i}^\star)$$
• Principio de revelación : que para ser justos no es tanto una ecuación como un teorema ...
• Ecuación de Bellman $$V(x)=\max_{c\in\Omega(x)} U(x,z)+\beta\left[V(x^\prime)\right]$$

La mayor parte de la introducción económica es la intersección de líneas. Específicamente,

La economía trata sobre la lógica del comportamiento humano, cómo tomamos decisiones en un mundo de escasez. Estas ecuaciones describen la optimización restringida bajo algunos supuestos habituales como continuidad, preferencias convexas y sin soluciones de esquina. También le daría importancia a la teoría del consumidor sobre el productor. La mayor parte de la teoría del productor universitario se puede entender con las mismas herramientas que se utilizan en la teoría del consumidor.

Creo que una de las ecuaciones más importantes (al menos dentro de la macroeconomía) es:

Esta ecuación se ha utilizado para obtener muchos resultados fundamentales. Esta ecuación motivó el enlace Hansen-Jagannathan . También es fundamental para la fijación de precios de activos.

Además, algo interesante que vi una vez de Tom Sargent. Si utiliza el factor de descuento estocástico para un modelo estándar , dependiendo de qué parte del La ecuación que permite que sea exógena puede obtener algunos resultados fundamentales de macro:$m = \beta E_t \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

• Hipótesis de ingresos permanentes: Sea entonces obtenemos$\beta R = 1$$c_t = E [c_{t+1}]$
• Modelo de fijación de precios de activos de Lucas: deje que el proceso de consumo sea un hecho. Entonces el precio de un activo puede describirse por$R_t^{-1} = p_t = E \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

Una vez escuché a Roger Myerson hablar sobre por qué pensaba que la economía, como ciencia social, había tenido tanto éxito en la aplicación (o la incorporación tan fácil) de las matemáticas. Sugirió que tal vez se debió a algunas de las linealidades fundamentales dentro del mundo. Dos ejemplos serían las restricciones de equilibrio de flujo de bienes escasos (restricciones de productos) y las condiciones de no arbitraje. Estas son restricciones fundamentalmente lineales.

• Es importante enfatizar la importancia de estos porque podemos obtener una cantidad sorprendente de los dos. Por ejemplo, mucha gente piensa que la ley de la demanda es una consecuencia de asumir la racionalidad (específicamente, las preferencias que exhiben una tasa marginal de sustitución decreciente). Un resultado debido a Gary Becker muestra que la ley de la demanda (aunque solo una versión ligeramente más débil) puede derivarse solo de la restricción presupuestaria . (Ver Becker 1962, " Comportamiento irracional y teoría económica "). Es decir, este resultado económico fundamental puede derivarse de la realidad de los escasos recursos por sí solos, sin suponer racionalidad.

• La condición de no arbitraje es una aplicación del teorema de la dualidad lineal ( lema de Farkas ). Se puede hacer mucha economía y finanzas (fijación de precios de activos) simplemente asumiendo que en el equilibrio económico no hay arbitraje.

Notas adicionales:

Gary Becker hizo muchos avances en el campo al estudiar la forma en que las restricciones afectan el comportamiento humano. Una cita famosa, tomada de su conferencia de premio Nobel, es la observación de que "las diferentes restricciones son decisivas para diferentes situaciones, pero la restricción más fundamental es el tiempo limitado". (Alguna discusión aquí .) Algunos recursos más sobre cómo su trabajo en este sentido se puede encontrar aquí y aquí .

La dualidad lineal se puede utilizar para describir la condición de no arbitraje. En términos más generales, este teorema generalmente se prueba con el Teorema de separación del hiperplano , que es una herramienta matemática que aparece mucho en los libros de texto de economía.

Además, tenga en cuenta que es suficiente suponer que en el equilibrio económico, aproximadamente no hay arbitraje.

Aunque estoy de acuerdo con Jyotirmoy Bhattacharya en que las ideas más interesantes en economía no siempre se expresan mejor a través de ecuaciones, todavía quiero mencionar la ley de demanda Slutsky o compensada de la teoría del consumidor

donde son dos vectores de precios, es cualquier nivel de ingresos, es la función de demanda.$p',p \in \mathbb{R}_{++}^n$$w \in \mathbb{R}_+$$x(\cdot,\cdot) \in \mathbb{R}^n$

La relación subyacente es un par de órdenes de certidumbre lejos de las ecuaciones fundamentales en otros campos. Además, no fundamenta la disciplina, en el sentido de que no se usa con tanta frecuencia.

Sin embargo, tiendo a verlo como fundamental porque

• Es una consecuencia absolutamente no trivial de tres supuestos simples y fundamentales en la teoría del consumidor, a saber,
  • Que la función de demanda es homogénea de grado cero (sin ilusión de dinero)$x(\cdot,\cdot)$
  • Ley de Walras (la gente no quema dinero)
  • El axioma débil de las preferencias reveladas (si elige A cuando B está disponible "hoy", no elegirá B "mañana" si A permanece disponible)
• Por lo tanto, probar la desigualdad es equivalente a probar estos tres supuestos conjuntamente.
• Los tres supuestos se utilizan en la gran mayoría (¿quizás más del 90%?) De los modelos, incluidos los consumidores en teoría económica.
• Por lo tanto, su validez (al menos como aproximaciones) es crucial para la validez de la mayoría de los modelos en teoría económica (al menos como aproximaciones).
• Aunque no siempre es obvio cómo relacionar las nociones de precios, bienes e ingresos con los observables, todos los elementos de la ecuación son observables en principio (a diferencia de los niveles de utilidad, por ejemplo) y, por lo tanto, la validez de la desigualdad puede probarse empíricamente. .

No creo que haya ecuaciones económicas con el mismo estado que, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell en física. En su lugar, tenemos conceptos como el principio equimarginal, el equilibrio competitivo o el equilibrio de Nash que están en el centro del "enfoque del economista". Pero creo que el valor real de la economía ni siquiera está en estas ideas en sí mismas, sino en lo que sabemos sobre problemas concretos en áreas específicas de aplicaciones: por ejemplo, lo que sabemos sobre los ciclos económicos en macro. En esta economía puede parecerse más a la medicina que a la física.

Para mí, uno de los más importantes es la restricción presupuestaria. Puede parecer demasiado obvio, pero muchos laicos (aunque quizás no sean físicos) ¡no lo entienden!

$p⋅x \leq w$

Un poco tarde para el juego, pero me sorprende que nadie haya nombrado la ecuación para calcular las estimaciones de OLS:

Si bien no es tan fundamental como, por ejemplo, la ecuación de Slutsky, la condición en el índice de Lerner es que una empresa que maximiza las ganancias con precio , costo y elasticidad precio de la demanda tiene es una ecuación importante en la organización industrial.$p$$c$$\eta$

Esta no es solo una formulación elegante de la solución del problema de la empresa, sino que también es prácticamente útil:

• Una empresa que estima su y sabe que su puede usar esta fórmula para calcular el precio que maximiza las ganancias.$\eta$$c$
• Un regulador que observa una y estima puede usar la fórmula para calcular en muchas formas de regulación.$p$$\eta$$c$

Ya está escrito, pero la ecuación de Euler en tiempo continuo produce

donde es la elasticidad intertemporal de sustitución, tasa de interés y es la tasa de descuento (nivel de impaciencia).$\sigma$$r$$\rho$

La base de la economía intertemporal es la ecuación del valor presente neto . Es decir, el valor presente neto de un flujo de ingresos futuro es el ingreso anual dividido por un factor de descuento apropiado, basado en la tasa de interés prevaleciente, r, tomada a la enésima potencia, donde n es el número de años.

Bueno, para la microeconomía hay varios, sin embargo, todos siguen el mismo patrón.

Aquí intentaré enseñar un curso completo de microeconomía intermedia en una publicación.

La mayoría de los problemas de microeconomía siguen este formato:

Si bien omite algunos detalles menores, si hace suficiente práctica de microeconomía, los problemas terminan pareciendo iguales después de un tiempo. Esto es lo que tengo que compartir.

Funciones de producción / utilidad

Hay tres tipos principales de funciones de utilidad / producción a las que estará expuesto en un curso intermedio de microeconomía ¹ . Son:

1. Cobb Douglas
   $$f(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$$
2. Leontif / Complemento perfecto
   $$f(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}$$
3. Sustitutos perfectos $$f(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

Líneas presupuestarias y funciones de costos

En la teoría del consumidor, tiene una línea presupuestaria representada por la fórmula:

En teoría del productor lo llamamos una función de costo.

o queremos maximizar el consumo dada una función de presupuesto / costo o minimizar los costos manteniendo constante su nivel de utilidad / producción. Para hacer esto usamos otra ecuación:

El multiplicador lagrangiano:

Aunque no es exclusivo de la herramienta de economía por decir, es la herramienta principal de todos los estudiantes de microeconomía intermedia.

donde es una función de línea de presupuesto / costo o una función de utilidad / producción cuando es igual a cero.$H-g(x_1,x_2)$

Usamos esto para calcular paquetes / insumos de maximización de utilidades / utilidades o para minimizar costos manteniendo constante la utilidad / utilidad.

¡Y eso es una envoltura!*

_{* Aunque hay algo que decir sobre las demandas de Marshall y Hicksian, lo dejaré para que otros lo completen.}