¿Qué son los FOC y los SOC?

Sigo viendo los términos condiciones de primer orden y condiciones de segundo orden utilizados en mi clase de economía de pregrado en funciones de producción, monopolios, etc., pero no tengo idea de lo que significan estos términos. Parece un término completamente ambiguo. ¿Qué tipo de condiciones?

¿Alguien puede explicar qué significan estos términos? Si depende del contexto, proporcione algunos de los significados más elementales que asocie con el término.

Suponga que tiene una función diferenciable , que desea optimizar eligiendo . Si es utilidad o ganancia, entonces desea elegir (es decir, paquete de consumo o cantidad producida) para hacer que el valor de más grande posible. Si es una función de costo, entonces desea elegir para que más pequeña posible. FOC y SOC son condiciones que determinan si una solución maximiza o minimiza una función dada.x f ( x ) x f f ( x ) x $f(x)$$x$$f(x)$$x$$f$$f(x)$$x$$f$

A nivel de pregrado, lo que suele ser el caso es que debe elegir $x^*$ modo que la derivada de $f$ sea ​​igual a cero:

$$f'(x^*)=0.$$ Este es el FOC. La intuición para esta condición es que una función alcanza su extremo (máximo o mínimo) cuando su derivada es igual a cero (ver la imagen a continuación). [Debe tener en cuenta que hay más sutilezas involucradas: busque términos como "soluciones interiores versus esquinas", "máximo / mínimo global versus local" y "punto de referencia" para obtener más información].

Sin embargo, como lo ilustra la imagen, simplemente encontrar donde f ′ ( x ∗ ) = 0 no es suficiente para concluir que x ∗ es la solución que maximiza o minimiza la función objetivo. En ambos gráficos, la función alcanza una pendiente cero en x ∗ , pero x ∗ es un maximizador en el gráfico de la izquierda, pero un minimizador en el gráfico de la derecha.$x^*$$f'(x^*)=0$$x^*$$x^*$$x^*$

$x^*$f ″ ( x ∗ ) > 0. x ∗ f f x ∗ x ∗ f x ∗ x ∗ x f ′ ( x

$$f''(x^*)<0$$ $$f''(x^*)> 0.$$ $x^*$$f$$f$$x^*$$x^*$$f$$x^*$$x^*$$x$$f'(x)$

Por ejemplo, cuando habla de maximización de ganancias a partir de una función de ganancias , la condición principal para un máximo es que: Este es el FOC (primero Condición del pedido).∂ $\pi(q)$

$$\frac{\partial \pi}{\partial q}=0$$

Sin embargo, para asegurarse de que lo que ha encontrado anteriormente es un máximo verdadero , también debe verificar una condición 'secundaria' que es: Esto se llama SOC (condición de segundo orden).

$$\frac{\partial^2 \pi}{\partial q^2}<0$$

El objetivo es encontrar un máximo local (o mínimo) de una función.

Si la función es diferenciable dos veces:

• La primera prueba derivada le dirá si es un extremo local.
• La segunda prueba derivada le dirá si es un máximo local o un mínimo.

En caso de que su función no sea diferenciable, puede hacer una prueba extrema más general .

Nota: es imposible construir un algoritmo para encontrar un máximo global para una función arbitraria .

Los economistas neoclásicos ciertamente cambian el nombre de esos dos métodos matemáticos a condiciones de primer orden y condiciones de segundo orden para que se vean bien o por otras razones históricas. ¿Por qué usar un nombre ampliamente utilizado cuando puedes inventar uno?

El término también se usa en maximización restringida cuando usan el método multiplicador de Lagrange y las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker . Nuevamente, no creo que el término sea utilizado por no economistas.