En la mayoría de los libros de texto de Microeconomía se menciona que la función de producción de Elasticidad de sustitución constante (CES),
(donde la elasticidad de sustitución es ), tiene como límites tanto la función de producción de Leontief como la de Cobb-Douglas. Específicamente,
y
Pero nunca proporcionan la prueba matemática de estos resultados.
¿Alguien puede proporcionar estas pruebas?
Además, la función CES anterior incorpora retornos constantes a escala (homogeneidad de grado uno), debido a que el exponente externo es . Si fuera, digamos , entonces el grado de homogeneidad sería .
¿Cómo se ven afectados los resultados limitantes si ?
Respuestas:
Las pruebas que presentaré se basan en técnicas relevantes para el hecho de que la función de producción de CES tiene la forma de una media ponderada generalizada .2
Esto se usó en el documento original donde se introdujo la función CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS y Solow, RM (1961). Sustitución de capital-trabajo y eficiencia económica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Los autores remitieron a sus lectores al libro Hardy, GH, Littlewood, JE y Pólya, G. (1952). Desigualdades , capítulo .
Consideramos el caso general
1) Límite cuandoρ → ∞
Dado que estamos interesados en el límite cuando podemos ignorar el intervalo para el cual y tratar a como estrictamente positivo. ρ → ∞ ρ ≤ 0 ρ
ρ → ∞ ρ ≤ 0 ρ
Sin pérdida de generalidad, suponga . También tenemos . Luego verificamos que se cumple la siguiente desigualdad:K , L > 0K≥ L ⇒ ( 1 / Kρ) ≤ ( 1 / Lρ) K, L > 0
elevando todo el poder para obtenerρ / k
(1)
que intercala el término medio en a , entonces( 1 / L k )( 1 ) ( 1 / Lk)
Entonces para obtenemos la función básica de producción de Leontief.k=1
2) Límite cuandoρ→0
Escriba la función usando exponencial como
Considere la expansión de Maclaurin de primer orden (expansión de Taylor centrada en cero) del término dentro del logaritmo, con respecto a :ρ
Inserte esto de nuevo en y elimine el exponencial externo,( 4 )
En caso de que sea opaco, defina y vuelva a escribirr ≡ 1 / ρ
Ahora parece una expresión cuyo límite en el infinito nos dará algo exponencial:
Se conserva el grado de homogeneidad de la función, y si obtenemos la función Cobb-Douglas.k = 1k k = 1
Fue este último resultado que hizo Flecha y Co llamar a parámetro de "distribución" de la función CES.una
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El método habitual para obtener Cobb-Douglas y Leotief es la regla de L'Hôpital .
También se deben usar otros métodos. El ajuste devolverá y Por la derivada total a través de diferenciales tendremos Con algunas manipulaciones se obtendrá nuestra ecuación principal.Q = [ a K - ρ + ( 1 - a ) L - ρ ] - 1γ= 1 Q-ρ=[aK-ρ+(1-a)L-ρ]Q = [ a K- ρ+ ( 1 - a ) L- ρ]- 1ρ
Función lineal :limρ → - 1reQ ⇒Q=aK+ ( 1 - a ) L
Función Cobb-Douglas : Tomar la Integral de ambos lados produciría
Función Leontief :limρ → ∞reQ ⇒min(aK, ( 1 - a ) L )
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