¿Cómo puedo obtener la función de producción de Leontief y Cobb-Douglas de la función CES?

22

En la mayoría de los libros de texto de Microeconomía se menciona que la función de producción de Elasticidad de sustitución constante (CES),

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(donde la elasticidad de sustitución es ), tiene como límites tanto la función de producción de Leontief como la de Cobb-Douglas. Específicamente,σ=11+ρ,ρ>1

limρQ=γmin{K,L}

y

limρ0Q=γKaL1a

Pero nunca proporcionan la prueba matemática de estos resultados.

¿Alguien puede proporcionar estas pruebas?

Además, la función CES anterior incorpora retornos constantes a escala (homogeneidad de grado uno), debido a que el exponente externo es 1/ρ . Si fuera, digamos k/ρ , entonces el grado de homogeneidad sería k .

¿Cómo se ven afectados los resultados limitantes si k1 ?

Huseyin
fuente
3
Esta parece ser una pregunta de tarea sin esfuerzo previo para resolverla, ver: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…
FooBar
1
Ciertamente es un tema sobre el tema, pero una pregunta de baja calidad . Incluso si no es tarea Huseyin, que esperamos de que a) Tenga cuidado con su notación (que utilizó ρ y p ) yb) aportar algunas ideas y formas en las que han tratado de resolver el problema. Estamos aquí para ayudar a las personas que se ayudan a sí mismas y no para ofrecer servicios profesionales pro bono.
Alecos Papadopoulos
2
Las matemáticas hacen las cosas de manera diferente al resto de la red de intercambio de pila. Solo en math.se puede enviar problemas para que otras personas los resuelvan sin mostrar esfuerzo. Guarde ese tipo de pregunta para math.se, no aquí.
EnergyNumbers
2
Cuando dices "Necesito demostrar" sin ninguna indicación de por qué necesitas demostrarlo, la gente va a asumir que esto es tarea.
Steven Landsburg el
1
@Huseyin Ahora que la pregunta se ha vuelto a abrir y se ha proporcionado una respuesta, ¿no publicará su respuesta para el límite de Cobb-Douglas?
Alecos Papadopoulos

Respuestas:

22

Las pruebas que presentaré se basan en técnicas relevantes para el hecho de que la función de producción de CES tiene la forma de una media ponderada generalizada .
Esto se usó en el documento original donde se introdujo la función CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS y Solow, RM (1961). Sustitución de capital-trabajo y eficiencia económica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Los autores remitieron a sus lectores al libro Hardy, GH, Littlewood, JE y Pólya, G. (1952). Desigualdades , capítulo .2

Consideramos el caso general

Qk=γ[aKρ+(1a)Lρ]kρ,k>0

γ1Qk=1[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ

1) Límite cuandoρ Dado que estamos interesados ​​en el límite cuando podemos ignorar el intervalo para el cual y tratar a como estrictamente positivo. ρ ρ 0 ρ
ρρ0ρ

Sin pérdida de generalidad, suponga . También tenemos . Luego verificamos que se cumple la siguiente desigualdad:K , L > 0KL(1/Kρ)(1/Lρ)K,L>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQk1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

elevando todo el poder para obtenerρ/k

(1)

(2)(1a)(1/Lρ)a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)(1/Lρ)
que de hecho se cumple, obviamente, dados los supuestos. Luego regrese al primer elemento de y(1)

limρ(1a)k/ρ(1/Lk)=(1/Lk)

que intercala el término medio en a , entonces( 1 / L k )(1)(1/Lk)

(3)limρQk=γ1/Lk=γLk=γ[min{K,L}]k

Entonces para obtenemos la función básica de producción de Leontief.k=1

2) Límite cuandoρ0
Escriba la función usando exponencial como

(4)γ1Qk=exp{kρln[a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1]}

Considere la expansión de Maclaurin de primer orden (expansión de Taylor centrada en cero) del término dentro del logaritmo, con respecto a :ρ

a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1=a(K0)1+(1a)(L0)1a(K0)2K0ρlnK(1a)(L0)2L0ρlnL+O(ρ2)

=1ρalnKρ(1a)lnL+O(ρ2)=1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2)

Inserte esto de nuevo en y elimine el exponencial externo,(4)

γ1Qk=(1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2))k/ρ

En caso de que sea opaco, defina y vuelva a escribirr1/ρ

γ1Qk=(1+[lnKaL(1a)]r+O(r2))kr

Ahora parece una expresión cuyo límite en el infinito nos dará algo exponencial:

limρ0γ1Qk=limrγ1Qk=(exp{lnKaL(1a)})k

limρ0Qk=γ(KaL1a)k

Se conserva el grado de homogeneidad de la función, y si obtenemos la función Cobb-Douglas.k = 1kk=1

Fue este último resultado que hizo Flecha y Co llamar a parámetro de "distribución" de la función CES.a

Alecos Papadopoulos
fuente
11

El método habitual para obtener Cobb-Douglas y Leotief es la regla de L'Hôpital .

También se deben usar otros métodos. El ajuste devolverá y Por la derivada total a través de diferenciales tendremos Con algunas manipulaciones se obtendrá nuestra ecuación principal.Q = [ a K - ρ + ( 1 - a ) L - ρ ] - 1γ=1 Q-ρ=[aK-ρ+(1-a)L-ρ]Q=[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

Qρ=[aKρ+(1a)Lρ]
-ρQ-ρ-1reQ=-unaρK-ρ-1reK-(1-una)ρL-ρ-1reL

reQ=una(QK)1+ρreK+(1-una)(QL)1+ρreL

Función lineal :limρ-1reQQ=unaK+(1-una)L

Función Cobb-Douglas : Tomar la Integral de ambos lados produciría

limρ0 0reQ1QreQ=una(1K)reK+(1-una)(1L)reL

1QreQ=una(1K)reK+(1-una)(1L)reL

Q=KunaL(1-una)mido=UNAKunaL(1-una)

Función Leontief :limρreQmetroyonorte(unaK,(1-una)L)

Huseyin
fuente
1
(+1) Me gusta especialmente cómo se obtiene la función Cobb-Douglas.
Alecos Papadopoulos
Gracias @AlecosPapadopoulos. pero todavía no sé por qué a algunos les disgusta esta publicación? Creo que este tipo de preguntas pueden proporcionar una tormenta de ideas, al menos para mí.
Huseyin
1
Hablando estrictamente Huseyin, tienen razón: debería haber incluido al menos parte de su respuesta en su pregunta : "aquí está mi forma de hacer las cosas, ¿hay alguna otra manera?"
Alecos Papadopoulos
¿Tomar un diferencial e integrar "equivalente" a tomar un límite? En general, ¿podemos tomar diferencial e integrar para encontrar un límite? ¿O es esta una aplicación especial?
PGupta