Condiciones iniciales para los sistemas descritos en el espacio de estado: ¿LTI o no?

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Supongamos que tenemos algún sistema dado por

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

dónde x(t) son las variables de estado, y(t) es la salida y u(t)es la entrada Todas las matrices son constantes. La misma pregunta se aplica al caso discreto

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]y[n]=Cx[n]+Du[n]

Se sabe que un sistema con condiciones iniciales distintas de cero no puede ser LTI . Sin embargo, six(0)0, No veo por qué el sistema anterior no sería LTI como se expresa. Hasta donde sé, si un sistema se expresa de esa manera, tiene que ser lineal y, como las matrices no dependen det, también debería ser invariante en el tiempo.

Entonces tenemos un sistema que tiene que ser LTI ya que se expresa en espacio de estado con matrices constantes, pero no puede ser LTI porque tiene x(0)0.

No puedo ver el error en el razonamiento que me lleva a esta absurda contradicción. ¿Alguien puede señalarlo?

Tendero
fuente
Hola Tendero: He estado lidiando con un problema como ese (mucho más simple en realidad) y el problema con las condiciones iniciales es que dificultan escribir la respuesta escalonada de manera general (porque las condiciones iniciales pueden cambiar cada vez) desde Depende de las condiciones iniciales. No estoy seguro de si esto está relacionado con su pregunta, pero podría estarlo. Nuevamente, vengo de econometría mundo muy diferente. Definitivamente espero que alguien pueda explicar esto.
Mark Leeds
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Realmente creo que usted y su referencia están siendo engañados por la semántica. Buscaré algunas referencias, pero LTI y Linealidad son elementos estructurales que no dependen de predecesores particulares (es decir, historia); que en sistemas "lineales" son "condiciones iniciales".
Rrogers
@rrogers Puede consultar el libro de Señales y Sistemas de Oppenheim . En su sección llamada "SISTEMAS CAUSAL LTI DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA" (es 2.4 en mi edición), se aborda el tema. Por favor, ilumíneme si estoy malinterpretando algo, pero el autor afirma claramente que un sistema con condiciones de descanso no iniciales no es LTI.
Tendero
Lejos de mí corregir su libro (incluso el de Oppenheim); pero considere si el "sistema" incluye los valores de las variables o el hardware sobre el que actuó. Digamos una red RC, ¿pediría una nueva teoría si el voltaje en la tapa no fuera cero? no, se llama respuesta transitoria y se considera por la misma ecuación. Mire la transformada de Laplace de la ecuación diferencial am LTI; tiene condiciones "iniciales" correspondientes a los derivados. Yo diría que el "sistema" no depende de cuándo se toman las mediciones o de las entradas.
Rrogers
Eche un vistazo a: web.mit.edu/2.14/www/Handouts/StateSpaceResponse.pdf , vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/78864/… . Ambos incorporan condiciones iniciales en sus explicaciones de LTI sin siquiera considerar cambiar las ecuaciones. Otro punto de vista (realmente el mismo): dada la integral indefinida, debe establecer un comienzo y un final cuando se evalúa. El inicio es el análogo directo de la condición inicial. Por cierto: la función delta y sus derivados pueden emular la mayoría de las condiciones iniciales.
Rrogers

Respuestas:

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Soy solo un estudiante universitario, por lo que tal vez mi respuesta sea un poco ingenua, pero según Oppenheim, no son solo las condiciones iniciales distintas de cero las que hacen que una ecuación diferencial / diferencia de coeficiente constante lineal no sea LTI. Una ecuación diferencial / diferencia con condiciones iniciales de cero fijo tampoco puede ser LTI. Para una ecuación diferencial / diferencia de coeficiente constante lineal, describa un sistema LTI causal, las condiciones iniciales tienen que satisfacer la condición de reposo inicial: es decir, la salida no se vuelve cero hasta que la entrada se vuelve cero.

Con respecto a su pregunta (la representación del espacio de estado), observe que la entrada al sistema es u(t) y la salida es y(t). La propiedad "entrada cero / salida cero" de los sistemas lineales solo se aplica a

y(t)=Cx(t)+Du(t)
Si x(t)=0, si solo consideramos u(t) ser la entrada al sistema, pero me parece que la noción de linealidad puede extenderse a las representaciones del espacio de estados para dar cuenta del vector de estado x(t). En cualquier caso, las condiciones iniciales a las que se refiere Oppenheim cuando se habla de ecuaciones diferenciales (condiciones en la saliday(t) y sus derivados) no son las mismas condiciones iniciales a las que hizo referencia en su pregunta (condiciones en el vector de estado x(t)) De nuevo, no sé si estoy en lo correcto, y siempre me he confundido, pero quizás esto podría ayudar.

fuente
Creo que esta podría ser la respuesta correcta, ya que he olvidado que Oppenheim se refiere a las condiciones iniciales para y(t)y los estados x(t)en la representación del espacio de estado no son la salida. No estoy seguro de haber entendido esto todavía, pero estoy aceptando la respuesta porque realmente creo que has dado en el clavo.
Tendero
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Si nos fijamos en el Capítulo 5 de:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

que se titula "Propiedades de los modelos de espacio de estado LTI", la ecuación 5.33 no parece tener un problema con las condiciones iniciales, o cualquier otro libro (estoy corregido, hay un libro) que conozco. A menos que Oppenheim se haya tocado con locura, me inclino a aceptar su caracterización de que las condiciones iniciales no descalifican a un sistema LTI como "no lineal" por su uso del término "entrada cero lineal".

Al comienzo de las notas, (y en Oppenheim y Shaefer 3a edición) se proporciona un sistema LTI como:

y[n]=k=x[k]h[nk]
que no requiere h[n] ser causal o estable. x[n] no tiene que satisfacer x[n]=0forn<0 .

Hay un énfasis en el texto que uno necesita considerar toda la historia de x[n], no solo por n0.

dejar

x[n]=x^[n]+x~[n]
dónde
x^[n]={x[n]forn<0and0forn0

y

x~[n]={0forn<0andx[n]forn0
por linealidad.

y[n]=k=1x^[k]h[nk]+k=0x~[k]h[nk]
Si y[n] es causal
y[n]=k=1x^[k]h[nk]zero input linear+k=0nx~[k]h[nk]zero state linear,n0

El punto esencial es que las condiciones iniciales explican la entrada previa. Dónden=0 se hace referencia para x[n]es arbitrario, que es otra manifestación de la invariancia del tiempo. Las condiciones iniciales no son un valor arbitrario que molesta al sistema. Six[n]=0 para n<0 Las condiciones iniciales son cero.

Probemos algo más. Dejarz[n]=x~[n+1] (avance por una muestra) y con x~[n], el sistema era LTI sin controversia. Pero ahora,

y[n]=z[1]h[n]zero input linear+k=0nz[k]h[nk]zero state linear,n0
y ahora tenemos una condición inicial. ¿Un desplazamiento hacia adelante de 1 muestra haría que un sistema LTI no sea lineal?

La falacia lógica en la raíz de la pregunta es usar la definición de linealidad de estado cero y aplicarla al caso de entrada cero.


fuente
Es en su propio libro, Signals and Systems , que Oppenheim afirma que un sistema descrito por una ecuación diferencial / diferencia con condiciones de descanso no iniciales no es LTI. Si puede, consulte la sección "SISTEMAS CAUSAL LTI DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA" (es 2.4 en mi edición). ¿Eso se alinea con tu respuesta? Estoy realmente confundido aquí.
Tendero
Estas notas son suyas y salieron en 2001. Crecí con Lathi. y declara explícitamente que un sistema tiene que ser AMBOS estado cero y cero entrada lineal. tenga en cuenta el término causal
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Piensa en este ejemplo. Tengo un condensador cargado con voltajeV0. Si conecto una fuente de voltajev1(t) para ello, el voltaje en el condensador cambiará con el tiempo, pero comenzará a V0. Si conecto una fuente de voltajev2(t), lo mismo sucederá. Pero si conecto una fuente de voltajev3(t)=v1(t)+v2(t), el voltaje en el condensador (que sería la salida aquí) no será 2V0 a t=0. En cambio, seguirá siendoV0. Por lo tanto, el principio de superposición no funciona aquí y, por lo tanto, el sistema no es lineal. Al menos, ese es mi razonamiento. ¿Ves algún error?
Tendero
Piensa en su ejemplo. Qué idiota empuja aleatoriamente condensadores de carga en un sistema. (debe haberse perdido el entrenamiento de ESD) La única situación realista es que el condensador cargado representa un historial acumulado.
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Relájate, no hay necesidad de blasfemias. Aquí estamos hablando de conceptos ideales, esto es puramente matemático y ni siquiera estaríamos hablando de linealidad si nos centramos en casos rigurosos de la vida real, ya que la naturaleza es inherentemente no lineal. Realmente creo que mi ejemplo muestra el problema presentado en el OP de una manera bastante simple. Y, por cierto, no desacreditaría la "Biblia de DSP" solo porque otras notas son más recientes. No creo que esta respuesta sea útil, al menos como lo es ahora.
Tendero