¿Qué se entiende por "respuesta de impulso" y "respuesta de frecuencia" de un sistema?

¿Alguien puede establecer la diferencia entre la respuesta de frecuencia y la respuesta de impulso en inglés simple?

La respuesta de impulso y la respuesta de frecuencia son dos atributos que son útiles para caracterizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) . Proporcionan dos formas diferentes de calcular cuál será la salida de un sistema LTI para una señal de entrada dada. Un sistema LTI de tiempo continuo generalmente se ilustra así:

En general, el sistema asigna su señal de entrada a una señal de salida correspondiente . Hay muchos tipos de sistemas LTI que pueden aplicar transformaciones muy diferentes a las señales que pasan a través de ellos. Pero, todos comparten dos características clave:$H$$x(t)$$y(t)$

• El sistema es lineal , por lo que obedece al principio de superposición . En pocas palabras, si combina linealmente dos señales y las ingresa al sistema, la salida es la misma combinación lineal de lo que las salidas habrían sido si las señales hubieran pasado individualmente. Es decir, si asigna a una salida de y asigna a una salida de , entonces para todos los valores de y ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• El sistema es invariante en el tiempo , por lo que sus características no cambian con el tiempo. Si agrega un retraso a la señal de entrada, simplemente agrega el mismo retraso a la salida. Para una señal de entrada que se asigna a una señal de salida , luego para todos los valores de ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Los sistemas LTI de tiempo discreto tienen las mismas propiedades; la notación es diferente debido a la diferencia discreta versus continua, pero son muy parecidos. Estas características permiten que la operación del sistema se caracterice directamente usando sus respuestas de impulso y frecuencia. Proporcionan dos perspectivas sobre el sistema que pueden usarse en diferentes contextos.

Respuesta impulsiva:

El impulso al que se hace referencia en el término respuesta a impulso es generalmente una señal de dominio de tiempo de corta duración. Para sistemas de tiempo continuo, esta es la función delta de Dirac , mientras que para los sistemas de tiempo discreto, la función delta de Kronecker se usa típicamente. La respuesta de impulso de un sistema (a menudo anotada como para sistemas de tiempo continuo o para sistemas de tiempo discreto) se define como la señal de salida que resulta cuando se aplica un impulso a la entrada del sistema.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

¿Por qué es útil esto? Nos permite predecir cómo se verá la salida del sistema en el dominio del tiempo. ¿Recuerdas las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo mencionadas anteriormente? Si podemos descomponer la señal de entrada del sistema en una suma de un grupo de componentes, entonces la salida es igual a la suma de las salidas del sistema para cada uno de esos componentes. ¿Qué pasaría si pudiéramos descomponer nuestra señal de entrada en una suma de impulsos escalados y desplazados en el tiempo? Entonces, la salida sería igual a la suma de copias de la respuesta al impulso, escalada y desplazada en el tiempo de la misma manera.

Para sistemas de tiempo discreto, esto es posible, porque puede escribir cualquier señal como una suma de funciones delta de Kronecker escaladas y desplazadas en el tiempo:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

Cada término en la suma es un impulso escalado por el valor de en ese instante de tiempo. ¿Qué obtendríamos si pasáramos través de un sistema LTI para obtener ? Simple: cada impulso escalado y con retraso de tiempo que ponemos produce una copia escalada y con retraso de la respuesta de impulso en la salida. Es decir:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

donde es la respuesta de impulso del sistema. La ecuación anterior es el teorema de convolución para sistemas LTI de tiempo discreto. Es decir, para cualquier señal que ingrese a un sistema LTI, la salida del sistema es igual a la convolución discreta de la señal de entrada y la respuesta al impulso del sistema.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Para sistemas de tiempo continuo, la descomposición directa anterior no es posible en un sentido matemático estricto (el delta de Dirac tiene un ancho cero y una altura infinita), pero a nivel de ingeniería, es una forma aproximada e intuitiva de ver el problema. Un teorema de convolución similar es válido para estos sistemas:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

donde, de nuevo, es la respuesta al impulso del sistema. Hay varias formas de derivar esta relación (creo que podría hacer un argumento similar al anterior al afirmar que las funciones delta de Dirac en todos los cambios de tiempo constituyen una base ortogonal para el espacio Hilbert , señalando que puede usar el propiedad de filtrado de la función delta para proyectar cualquier función en sobre esa base, lo que le permite expresar las salidas del sistema en términos de las salidas asociadas con la base (es decir, respuestas de impulso desplazadas en el tiempo), pero no soy un matemático con licencia, así que lo dejaré de lado). Aquí se muestra un método que se basa únicamente en las propiedades del sistema LTI mencionadas anteriormente .$h(t)$$L^2$$L^2$

En resumen: para los sistemas de tiempo discreto y continuo, la respuesta al impulso es útil porque nos permite calcular la salida de estos sistemas para cualquier señal de entrada; la salida es simplemente la señal de entrada convolucionada con la función de respuesta al impulso.

Respuesta frecuente:

La respuesta de frecuencia de un sistema LTI proporciona una función similar: le permite calcular el efecto que tendrá un sistema en una señal de entrada, excepto que esos efectos se ilustran en el dominio de frecuencia . Recordemos la definición de la transformada de Fourier :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Más importante aún por el bien de esta ilustración, mire su inverso:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

En esencia, esta relación nos dice que cualquier señal de dominio de tiempo puede dividirse en una combinación lineal de muchas funciones exponenciales complejas a frecuencias variables (existe una relación análoga para señales de tiempo discreto llamada Fourier de tiempo discreto transformar ; solo trato el caso de tiempo continuo a continuación por simplicidad). Para una señal de dominio de tiempo , la transformada de Fourier produce una función correspondiente que especifica, para cada frecuencia , el factor de escala que se aplica al exponencial complejo a la frecuencia$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$en la combinación lineal mencionada anteriormente. Estos factores de escala son, en general, números complejos. Una forma de ver los números complejos es en formato de amplitud / fase, es decir:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

Mirándolo de esta manera, entonces, puede escribirse como una combinación lineal de muchas funciones exponenciales complejas, cada una de ellas amplificada en amplitud por la función y desplazada en fase por la función . Esto se alinea bien con las propiedades del sistema LTI que discutimos anteriormente; Si podemos descomponer nuestra señal de entrada en una combinación lineal de un conjunto de funciones exponenciales complejas, entonces podemos escribir la salida del sistema como la misma combinación lineal de la respuesta del sistema a esas funciones exponenciales complejas.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Aquí es donde mejora: las funciones exponenciales son las funciones propias de los sistemas lineales invariantes en el tiempo. La idea es, similar a los vectores propios en álgebra lineal, si coloca una función exponencial en un sistema LTI, obtiene la misma función exponencial, escalada por un valor (generalmente complejo). Esto tiene el efecto de cambiar la amplitud y la fase de la función exponencial que pones.

Esto es inmensamente útil cuando se combina con la descomposición basada en la transformada de Fourier discutida anteriormente. Como dijimos antes, podemos escribir cualquier señal como una combinación lineal de muchas funciones exponenciales complejas a frecuencias variables. Si pasamos a un sistema LTI, entonces (debido a que esas exponenciales son funciones propias del sistema), la salida contiene exponenciales complejos en las mismas frecuencias, solo escaladas en amplitud y desplazadas en fase. Estos efectos sobre las amplitudes y fases de los exponenciales, en función de la frecuencia, es la respuesta de frecuencia del sistema . Es decir, para una señal de entrada con transformada de Fourier pasada al sistema para producir una salida con una transformada de Fourier$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

En resumen: si conocemos la respuesta de frecuencia de un sistema y la transformada de Fourier de la señal que le ponemos , entonces es sencillo calcular la transformada de Fourier de la salida del sistema; es simplemente el producto de la respuesta de frecuencia y la transformación de la señal de entrada. Para cada frecuencia exponencial compleja que está presente en el espectro , el sistema tiene el efecto de escalar ese exponencial en amplitud por y cambiar el exponencial en fase por radianes.$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

Reuniéndolos:

La respuesta de impulso y la respuesta de frecuencia de un sistema LTI están íntimamente relacionadas. La respuesta de frecuencia es simplemente la transformación de Fourier de la respuesta de impulso del sistema (para ver por qué se mantiene esta relación, ver las respuestas a esta otra pregunta ). Entonces, para un sistema de tiempo continuo:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Entonces, dada la respuesta de impulso de un sistema o su respuesta de frecuencia, puede calcular la otra. Cualquiera de los dos es suficiente para caracterizar completamente el comportamiento del sistema; la respuesta al impulso es útil cuando se opera en el dominio del tiempo y la respuesta de frecuencia es útil al analizar el comportamiento en el dominio de la frecuencia.

Golpee algo bruscamente una vez y grafique cómo responde en el dominio del tiempo (como con un osciloscopio o un trazador de lápiz). Eso estará cerca de la respuesta al impulso.

Consigue un generador de tonos y vibra algo con diferentes frecuencias. Algunas frecuencias resonantes se amplificará. Otros pueden no responder en absoluto. Trace el tamaño de respuesta y la fase versus la frecuencia de entrada. Eso estará cerca de la respuesta de frecuencia.

Para ciertas clases comunes de sistemas (donde el sistema no cambia mucho con el tiempo, y cualquier no linealidad es lo suficientemente pequeña como para ignorar para el propósito en cuestión), las dos respuestas están relacionadas, y una transformación de Laplace o Fourier podría ser aplicable para aproximar la relación.

La respuesta al impulso es la respuesta de un sistema a un pulso único de duración infinitamente pequeña y energía unitaria (un pulso Dirac). La respuesta de frecuencia muestra cuánto atenúa o amplifica cada frecuencia el sistema.

La respuesta de frecuencia de un sistema es la respuesta de impulso transformada al dominio de frecuencia. Si tiene una respuesta de impulso, puede usar la FFT para encontrar la respuesta de frecuencia, y puede usar la FFT inversa para pasar de una respuesta de frecuencia a una respuesta de impulso.

En breve, tenemos dos tipos de respuestas básicas: respuestas de tiempo y respuestas de frecuencia . Las respuestas de tiempo prueban cómo funciona el sistema con perturbación momentánea, mientras que la respuesta de frecuencia lo prueba con perturbación continua. Las respuestas de tiempo contienen cosas como la respuesta escalonada, la respuesta en rampa y la respuesta al impulso . Las respuestas de frecuencia contienen respuestas sinusoidales .

La Universidad de Aalto tiene material de curso Mat-2.4129 libremente aquí , lo más relevante probablemente los archivos de Matlab porque la mayoría de las cosas en finlandés. Si está más interesado, puede consultar los videos a continuación para ver videos de introducción. Los encontré útiles yo mismo.

Solo tengo un conocimiento muy elemental sobre los problemas de LTI, así que los cubriré a continuación, ¡pero seguramente hay muchos más tipos de problemas diferentes!

Respuestas con problemas lineales invariantes en el tiempo

Con problemas de LTI (invariante lineal en el tiempo), la entrada y la salida deben tener la misma forma: la entrada sinusoidal tiene una salida sinusoidal y, de manera similar, el resultado de la entrada escalonada en la salida escalonada. Si no tiene un sistema LTI, digamos que tiene comentarios o su control / ruido y correlación de entrada, entonces todas las afirmaciones anteriores pueden estar equivocadas. Con LTI, obtendrá dos tipos de cambios: cambio de fase y cambios de amplitud, pero la frecuencia se mantiene igual. Si rompe algunos supuestos, digamos con un supuesto de no correlación, entonces la entrada y la salida pueden tener formas muy diferentes.

Si necesita investigar si un sistema es LTI o no, puede usar herramientas como la ecuación de Wiener-Hopf y el análisis de correlación. La ecuación de Wiener-Hopf se usa con sistemas ruidosos. Es esencial validar los resultados y verificar las premisas, de lo contrario es fácil cometer errores con diferentes respuestas. Más sobre cómo determinar la respuesta al impulso con un sistema ruidoso aquí .

Referencias

1. Artículo de Wikipedia sobre LTI aquí

2. Muy buenos videos de introducción sobre diferentes respuestas aquí y aquí , algunos puntos clave a continuación.