¿Cómo encuentro la respuesta de impulso de un sistema a partir de su representación en el espacio de estado usando la matriz de transición de estado?

Supongamos que tenemos una lineal representada en la notación de espacio de estado estándar:

\dot{X} (t) = UN X (t) + si tu (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = C X (t) + re tu (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Para obtener su respuesta al impulso, es posible tomar su transformación de Laplace para obtener

s X = UN X + si U

$sX=AX+BU$

Y = C X + re U

$Y=CX+DU$

y luego resolver la función de transferencia que es

\frac{Y}{U} = C (s yo - UN)^{- 1} si + re

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

De manera similar, para un sistema discreto, la transformación de $\mathcal{Z}$

X [norte + 1] = UN X [norte] + si tu [norte]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [norte] = C X [norte] + re tu [norte]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

\frac{Y}{U} = C (z yo - UN)^{- 1} si + re

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

$x$

impulse-response state-space linear-systems Phonon
fuente

Respuestas:

$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

X (t) = X_{0 0} {mi}^{UN t} + \int_{0 0}^{t} {mi}^{UN (t - t^{'})} si tu (t^{'}) re t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

donde $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y (t) = C \int_{0 0}^{t} Ξ (t - t^{'}) si tu (t^{'}) re t^{'} + re tu (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

$\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = C (s yo - UN)^{- 1} si U + re U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

que le brinda la misma función de transferencia que en su pregunta.

En cuanto a que su comentario sobre el enfoque de transformación de Laplace es largo, no necesariamente diría que es así. Sin embargo, el enfoque de matriz de transición de estado podría ser más sencillo de implementar , ya que varias operaciones que lo involucran pueden calcularse con multiplicaciones de matriz simples y nada más.

Lorem Ipsum
fuente

Muy buena descripción.

Jason R