Obtención de la puerta

Actualmente estoy leyendo "Computación cuántica e información cuántica" de Nielsen y Chuang. En la sección sobre la simulación cuántica, dan un ejemplo ilustrativo (sección 4.7.3), que no entiendo del todo:

Supongamos que tenemos el Hamiltoniano

$$H = Z_1 ⊗ Z_2 ⊗ \cdots ⊗ Z_n,\tag{4.113}$$ que actúa en un sistema $n$ qubit. A pesar de ser una interacción que involucra todo el sistema, de hecho, puede simularse de manera eficiente. Lo que deseamos es un circuito cuántico simple que implemente $e^{-iH\Delta t}$ , para valores arbitrarios de $\Delta t$ . Un circuito que hace precisamente esto, para $n = 3$ , se muestra en la Figura 4.19. La idea principal es que, aunque el hamiltoniano involucra a todos los qubits en el sistema, lo hace en unmanera clásica : el cambio de fase aplicado al sistema es $e^{-i\Delta t}$ si la paridad de los $n$ qubits en la base computacional es par; de lo contrario, el cambio de fase debe ser $e^{i\Delta t}$ . Por lo tanto, es posible una simulación simple de $H$ calculando primero la paridad de manera clásica (almacenando el resultado en un qubit ancilla), luego aplicando el desplazamiento de fase apropiado condicionado a la paridad, luego desconfigurando la paridad (para borrar el ancilla).

Además, extender el mismo procedimiento nos permite simular Hamiltonianos extendidos más complicados. Específicamente, podemos simular eficientemente cualquier hamiltoniano de la forma

$$H = \bigotimes_{k=1}^n\sigma_{c\left(k\right)}^k,$$ donde $\sigma_{c(k)}^k$ es una matriz de Pauli (o la identidad) que actúa sobre el $k$ th qubit, con $c(k) \in \{0, 1, 2, 3\}$ especificando uno de $\{I, X, Y, Z\}$ . Los qubits sobre los que se realiza la operación de identidad se pueden ignorar, y lostérminos$X$ o$Y$ se pueden transformar mediante puertas de qubit simples aoperaciones$Z$Esto nos deja con Hamiltoniano de la forma de (4.113), que se simula como se describió anteriormente.

¿Cómo podemos obtener la puerta $e^{-i\Delta t Z}$ de las puertas elementales (por ejemplo, de las puertas Toffoli)?

$\epsilon$$3 \lg \frac{1}{\epsilon}$

$9 + 1.2 \lg \frac{1}{\epsilon}$