¿Cómo cambian las probabilidades de cada estado después de una transformación de una puerta cuántica?

Las puertas cuánticas están representadas por matrices, que representan las transformaciones aplicadas a los qubits (estados).

Supongamos que tenemos una puerta cuántica que opera en qubits.$2$

¿Cómo funciona la puerta cuántica afecta (no necesariamente cambiarlo) el resultado de medir el estado de los qubits (como el resultado de la medición se ve afectada en gran medida por las probabilidades de cada estado posible)? Más específicamente, ¿es posible saber de antemano cómo cambian las probabilidades de cada estado debido a la puerta cuántica?

Caso I: los 2 qubits no están enredados.

Puede escribir los estados de los dos qubits (por ejemplo, y ) como y donde .$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

Los qubits individuales residen en espacios vectoriales complejos bidimensionales (sobre un campo ). Pero el estado del sistema es un vector (o punto ) que reside en un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones (sobre un campo ).$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

El estado del sistema se puede escribir como un producto tensor es decir, .un c | 00 ⟩ + un d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 $|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

Naturalmente, ya que el vector de estado tiene que normalizarse. La razón de por qué el cuadrado de la amplitud de un estado base da la probabilidad de que ese estado base ocurra cuando se mide en la base correspondiente reside en la regla de Born de la mecánica cuántica (algunos físicos consideran que es un postulado básico de la mecánica cuántica) . Ahora, la probabilidad de que ocurra cuando se mide el primer qubit es . De manera similar, la probabilidad de que ocurra cuando se mide el primer qubit es .| 0 ⟩ | a c | 2 + | a d | 2 | 1 ⟩ | b c | 2 + | b d | $|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

Ahora, ¿qué sucede si aplicamos una puerta cuántica sin realizar ninguna medición en el estado anterior del sistema? Las puertas cuánticas son puertas unitarias. Su acción puede escribirse como la acción de un operador unitario en el estado inicial del sistema, es decir, para producir un nuevo estado (donde ). La magnitud de este nuevo vector de estado: nuevamente equivale a , ya que la puerta aplicada era unitaria . Cuando se mide el primer qubit, la probabilidad de que ocurra esa c | 00 ⟩ + un d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩ A | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 ⟩ + D | 11 ⟩ A , B , C , D ∈ C | A | 2 + | B $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$ 1 | 0 ⟩ | A | 2 + | B | 2 | 1 $|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$$|A|^2+|B|^2$y de manera similar puede encontrarlo para la aparición de .$|1\rangle$

Pero si realizáramos una medición, antes de la acción de la puerta unitaria, el resultado sería diferente. Por ejemplo, si midió el primer qubit y resultó estar en estado intermedio del sistema se habría colapsado a (según la interpretación de Copenhague). Entonces puedes entender que aplicar la misma puerta cuántica en este estado habría dado un resultado final diferente.un c | 00 ⟩ + un d | 01 $|0\rangle$$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

Caso II: los 2 qubits están enredados.

En caso de que el estado del sistema sea algo así como , no puede representarlo como un producto tensorial de estados de dos qubits individuales (¡prueba!). Hay muchos más ejemplos de este tipo. Se dice que los qubits se enredan en tal caso.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

De todos modos, la lógica básica sigue siendo la misma. La probabilidad de que ocurra cuando se mide el primer qubit es y ocurre es también. Del mismo modo, puede averiguar las probabilidades de medición del segundo qubit.| 1 / $|0\rangle$ | 1⟩$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$$\frac{1}{2}$

Nuevamente, si aplica una puerta cuántica unitaria en este estado, terminaría con algo como , como antes. Espero que ahora pueda descubrir las probabilidades de las diferentes posibilidades cuando se miden el primer y el segundo qubits.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

Nota: Normalmente, los estados básicos del sistema de 2 qubits se consideran los cuatro vectores de columna como , , etc. asignando los cuatro vectores básicos a la base estándar de . Y, las transformaciones unitarias se puede escribir como matrices que satisfacen la propiedad .4 × 1 [ 1 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 ] R 4 U 4 × 4 U U † = U † U = $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

Sí, es posible. Las puertas cuánticas están diseñadas de tal manera que los estados de entrada dados se transforman en estados de salida bien definidos con probabilidades computables. La transformación no constituye una medida en el sentido de la mecánica cuántica, esto significa que podemos tener estados entrelazados en la salida de una puerta cuántica y usar estos estados para el cálculo adicional.

Tenga en cuenta también que los estados de entrada ya no son accesibles después de ser transformados por una puerta cuántica. Si desea recuperarlos, debe aplicar una puerta inversa.

¿Cómo funciona la puerta cuántica afecta (no necesariamente cambiarlo) el resultado de medir el estado de los qubits (como el resultado de la medición se ve afectada en gran medida por las probabilidades de cada estado posible)? Más específicamente, ¿es posible saber de antemano cómo cambian las probabilidades de cada estado debido a la puerta cuántica?

Intentemos abordar esto con un ejemplo y algo de geometría. Considere un solo qubit, cuyo espacio de Hilbert es , es decir, el espacio complejo de Hilbert bidimensional sobre (para las personas más técnicas, el espacio de Hilbert es en realidad ). Resulta que , la esfera de la unidad, también conocida como la esfera de Bloch . Esto se traduce en el hecho de que todos los estados de un qubit pueden representarse (de forma exclusiva ) en la esfera Bloch.C C P 1 C P 1 ≅ S $\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

Fuente: Wikipedia

El estado de un qubit se puede representar en la esfera Bloch como , donde y . Aquí, y son los dos estados básicos (representados en la figura en el polo norte y sur respectivamente). Entonces, los estados del qubit no son más que vectores de columna, que se identifican con puntos (únicos) en la esfera. 0≤theta≤pi0≤varphi<2pi| 0⟩=[10]| 1⟩=[01${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

¿Qué son las puertas cuánticas? Estos son operadores unitarios, st, . Las puertas en un solo qubit son elementos de . Considere una puerta simple como (que representa la matriz de Pauli ).U U † = U † U = I S U ( 2 ) Y σ y : = Y = [ 0 - i i 0$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

¿Cómo actúa esta puerta en un qubit y afecta los resultados de la medición?

Digamos que comienza con un qubit en el estado , es decir, en el polo norte de la esfera Bloch. Aplica un unitario de la forma donde . El uso de propiedades de la matriz Pauli, obtenemos . La acción de este operador es rotar el estado en un ángulo largo del eje y, por lo tanto, si elegimos , el qubitU = e - i γ Y γ ∈ R U = e - i γ Y = c o s ( γ ) I - i S i n ( γ ) Y 2 γ γ = π / 2 | 0 ⟩ → T | 0 ⟩ = | 1 $|0\rangle$$U = e^{-i \gamma Y}$$\gamma \in \mathbb{R}$$U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$$2 \gamma$$\gamma = \pi/2$$|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. Es decir, dado que sabemos qué unitario estamos aplicando a nuestro estado, sabemos completamente la forma en que nuestro estado inicial se transformará y, por lo tanto, sabemos cómo cambiarían las probabilidades de medición.

Por ejemplo, si hiciéramos una medición en la base , inicialmente, se obtendría el estado con probabilidad 1; después de aplicar lo unitario, se obtendría el estado con probabilidad 1.$\{|0\rangle, |1\rangle\}$$|0\rangle$$|1\rangle$

Como dijiste, las probabilidades de las mediciones se obtienen del estado. Y las puertas operan unitariamente en los estados. Considere el elemento POVM , un estado y una puerta . Entonces, la probabilidad para el resultado asociado con es , y la probabilidad después de la puerta es .$\Pi$$\rho$$U$$\Pi$$p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$$p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$

Solo quiero enfatizar que es imposible saber la probabilidad del resultado después de la puerta solo a partir de la probabilidad de que ocurra antes de la puerta. ¡Debe considerar las amplitudes de probabilidad (los estados cuánticos)!

Permítanme hacer otra observación: están hablando de dos qubits, por lo que el estado después de la puerta podría estar enredado. En este caso, no será posible tener distribuciones de probabilidad "individuales" para cada qubit para todas las mediciones en el sentido de que la distribución de probabilidad conjunta no tendrá en cuenta las dos distribuciones marginales.