¿Cómo se implementan las puertas en una computadora cuántica de variable continua?

Sobre todo he trabajado con computadoras cuánticas superconductoras. No estoy realmente familiarizado con los detalles experimentales de las computadoras cuánticas fotónicas que usan fotones para crear estados de conglomerados variables continuos, como el que está construyendo la startup canadiense Xanadu . ¿Cómo se implementan las operaciones de compuerta en estos tipos de computadoras cuánticas? ¿Y cuál es la puerta cuántica universal establecida en este caso?

Tomando un oscilador armónico -mode sencillo (SHO) en un espacio (Fock) F = ⨂ k H k , donde H k es el espacio de Hilbert de un SHO en modo de k .$n$$\mathcal F = \bigotimes_k\mathcal H_k$$\mathcal H_k$$k$

Esto le da al operador de aniquilación habitual , que actúa en un estado numérico como una k | n ⟩ = $a_k$paran≥1yunk| 0⟩=0y el operador de la creación en el modokcomouna † k , actuando en un estado número comouna † k | n⟩=$a_k\left|n\right> = \sqrt n\left|n-1\right>$$n\geq 1$$a_k\left|0\right> = 0$$k$$a_k^\dagger$.$a_k^\dagger\left|n\right> = \sqrt{n+1}\left|n+1\right>$

El hamiltoniano del SHO es (en unidades dondeℏ=1).$H = \omega\left(a_k^\dagger a_k+\frac 12\right)$$\hbar = 1$

Entonces podemos definir las cuadraturas Pk=-

$$X_k = \frac{1}{\sqrt 2}\left(a_k + a_k^\dagger\right)$$ que son observables. En este punto hay varias operaciones (hamiltonianos) que se pueden realizar. El efecto de tal operación en las cuadraturas se puede encontrar usando la evolución temporal de un operadorAcomo˙A=i[H,A]. Aplicando estos por tiempotda:X:P↦P-tP:X↦X+t $$P_k = -\frac{i}{\sqrt 2}\left(a_k - a_k^\dagger\right)$$ $A$$\dot A = i\left[H, A\right]$$t$ $$X:P\mapsto P-t$$ $$P:X\mapsto X+t$$ que es solo el hamiltoniano de un SHO con ω = 1 y da un cambio de fase. ± S = ± $$\frac 12\left(X^2 + P^2\right): X\mapsto \cos t X - \sin t P,\, P\mapsto \cos t P + \sin t X,$$ $\omega = 1$ $$\pm S = \pm\frac 12\left(XP+PX\right): X\mapsto e^{\pm t}X,\, P\mapsto e^{\mp t}P,$$ $+S\,\left(-S\right)$$P\,\left(X\right)$

$aX+bP+c$$X$$P$$S$$H$permite construir cualquier hamiltoniano cuadrático. Añadiendo además el (no lineal) Kerr Hamiltoniano

$$\left(X^2 + P^2\right)^2$$ permite crear cualquier polinomio hamiltoniano.

Finalmente, incluida la operación del divisor de haz (en dos modos $j$ y $k$)

$$\pm B_{jk} = \pm\left(P_jX_k - X_jP_k\right): A_j\mapsto \cos tA_j + \sin tA_k,\, A_k\mapsto \cos tA_k - \sin tA_j$$ for $A_j = X_j, P_j$ and $A_k = X_k, P_k$, which acts as a beamsplitter on the two modes.

The above operations form the universal gate-set for continuous variable quantum computing. More details can be found in e.g. here

To implement these unitaries:

Applying these operations is generally hinted at in the name: Coupling a current is acting as the displacement operator $D\left(\alpha\left(t\right)\right)$ where, for an electric field $\varepsilon$ and current $j$, $\alpha\left(t\right) = i\int_{t_0}^t\int j\left(r, t'\right)\cdot\varepsilon e^{-i\left(k\cdot r - w_kt'\right)} dr\, dt'$. The displacement operator shifts $X$ by the real part of $\alpha$ and $P$ by the imaginary part of $\alpha$.

A phase shift can be applied by simply letting the system evolve by itself, as the system is a harmonic oscillator. It can also be performed by using a physical phase shifter.

Squeezing is the hard bit and is something that needs to experimentally be improved. Such methods can be found in e.g. here and here is one experiment using a limited amount of squeezed light. One possible way of squeezing is using a Kerr $\left(\chi^{\left(3\right)}\right)$ no linealidad

Esta misma no linealidad también permite implementar Kerr Hamiltonian.

La operación Beamsplitter se realiza, como era de esperar, utilizando un divisor de haces.