¿Cómo interpretar un circuito cuántico como una matriz?

Si un circuito toma más de un qubit como entrada y tiene puertas cuánticas que toman diferentes números de qubits como entrada, ¿cómo interpretaríamos este circuito como una matriz?

Aquí hay un ejemplo de juguete:

Circuito específico

La primera puerta es una puerta Hadamard que normalmente está representada por

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$

$H\otimes I$$I$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

A continuación tenemos una puerta CNOT. Esto normalmente está representado por

$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$

Este es el tamaño correcto para dos qubits, por lo que no necesitamos escalar usando productos kronecker. Luego tenemos otra puerta hadamard, que escala igual que la primera. Para encontrar la matriz general para el circuito, entonces, los multiplicamos todos juntos:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

y obten

$$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$$

(si Python se multiplicó correctamente =) Entonces multiplicaríamos esto por nuestro estado qubit original y obtendríamos nuestro resultado.

Generalización

Básicamente, atraviesas cada puerta una por una, tomas la representación base y las escalas de manera apropiada usando productos kronecker con matrices de identidad. Luego, multiplica todas las matrices en el orden en que se aplican. Asegúrese de hacer esto de tal manera que si escribió la multiplicación, la primera puerta esté en el extremo derecho; Como señala Arriópolis, este es un error común. ¡Las matrices no son conmutativas! Si no conoce la representación base de una matriz, consulte primero el artículo de wikipedia sobre puertas cuánticas que tiene mucho.