Estados del teorema de Berge
Deje que , sea una función conjunta continua, sea continua (ambas correspondencia hemicontinua superior e inferior) de valor compacto. La función de valor maximizado y maximizador son V (\ theta): = \ max_ {x \ in X} f (x, \ theta) C ^ \ ast (\ theta): = \ {x \ in C (\ theta) \ mid f (x, \ theta) = V (\ theta) \} Entonces V: \ Theta \ to \ mathbb R es continuo y C ^ \ ast: \ Theta \ rightrightarrows X es hemicontinuo superior.
Según el Análisis microeconómico de Varian (1992), página 490, el teorema del sobre es simplemente:
es el maximizador de .
Me parece que el teorema de la envoltura implica el teorema de Berge, pero la derivación parece mucho más simple. ¿Hay una relación entre los dos?
Respuestas:
Están relacionados y generalmente caen en la misma discusión, pero como @Alecos menciona en los comentarios, los dos teoremas muestran cosas diferentes.
Supongo que la conexión que buscas es el hecho de que si la derivada existe, entonces, debido a que la diferenciabilidad implica continuidad, es posible que pueda obtener parte del teorema del máximo. Sin embargo, para comparar y contrastar dos teoremas no solo debes mirar los resultados. También debes mirar los supuestos. Por ejemplo, el teorema del máximo no supone ningún tipo de diferenciabilidad. El teorema de la envolvente sí (al menos algunas formas de él). En cualquier caso, los supuestos que se incluyen en cada uno son diferentes (algunos más fuertes, otros más débiles).
Además, hay esto. El teorema de la envolvente no te dice nada sobre la función de control. Por lo tanto, definitivamente no podrá obtener el resultado de que es hemicontinuo superior.C∗
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Citando el OP de un comentario
En el artículo referenciado de Lucas (1978), la Proposición 1 establece que
donde es la función de valor, y es su definición. Por lo tanto, parece que es la continuidad de la función Price la que se destaca como condición aquí, pero anteriormente en el artículo, Lucas define la función Utility como una función no negativa que esv(z,y;p) (i)
La Proposición 2 del artículo establece la diferenciabilidad de la función de valor, sin requerir más suposiciones.
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