Resulta que la convolución y la correlación están estrechamente relacionadas. Para señales reales (y señales de energía finita):
Circunvolución: y[n]≜h[n]∗x[n]=∑m=−∞∞h[n−m]x[m]
Correlación: Ryx[n]≜∑m=−∞∞y[n+m]x[m]=y[−n]∗x[m]
Ahora, en espacios métricos, nos gusta usar esta notación:
Rxy[n]≜⟨x[m],y[n+m]⟩=∑m=−∞∞x[m]y[n+m]
los ⟨x,y⟩es el producto interno de los vectoresx y y dónde x={x[n]} y y={y[n]}. Entonces también nos gusta definir la norma de un vector como
∥x∥≜⟨x,x⟩−−−−−√=∑m=−∞∞x[m]x[m]−−−−−−−−−−−−√=∑m=−∞∞x2[m]−−−−−−−−−√
y eso se parece mucho a la longitud euclidiana de un vector con un número infinito de dimensiones. Todo esto funciona muy bien para el caso donde los elementosx[n] del vector xson todos reales La norma∥x∥ siempre es real y no negativo.
Entonces, si generalizamos y permitimos los elementos de x tener un valor complejo, entonces si se va a utilizar la misma definición de norma,
∥x∥≜⟨x,x⟩−−−−−√
entonces la definición del producto interno debe modificarse un poco:
⟨x,y⟩=∑m=−∞∞x[m]y∗[m]
Entonces sí x tiene elementos de valor complejo, la norma sale como:
∥x∥≜⟨x,x⟩−−−−−√=∑m=−∞∞x[m]x∗[m]−−−−−−−−−−−−−√=∑m=−∞∞∣∣x[m]∣∣2−−−−−−−−−−√
Entonces, evidentemente, Haykin simplemente está volviendo esa definición de producto interno a la definición de convolución.