¿Cómo entender Kalman ganar intuitivamente?

El algoritmo de filtro de Kalman funciona de la siguiente manera

Inicializar x 0 | 0 y P 0 | 0 .$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

En cada iteración $k=1,\dots,n$

Predecir

Predicho (a priori) del estado estimación x k | k - 1 = F k x k - 1 | k - 1 + B k u k Estimación de covarianza estimada (a priori) P k | k - 1 = F k P k - 1 | k - 1 F T k + Q k Actualizar

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

Innovación o medición residual Covarianza de innovación (o residual) S k = H k P k | k - 1 H T k + R k Ganancia óptima de Kalman K k = P k | k - 1 H T k S - 1

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ Actualizado (a posteriori) Estado estimación x k | k = x k | k - 1 + K k ˜ y k Actualización (a posteriori) de covarianza estimada P k | k = ( I - K k H k ) P k | k - 1 $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

$K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$

• $\textbf{H}_k$

• $\textbf{S}_k$

¡Gracias y saludos!

$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Sustituyendo el primer límite en la ecuación de actualización de medición

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

$R$

$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

La ganancia de Kalman te dice cuánto quiero cambiar mi estimación mediante una medición.

${\bf S}_k$${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$${\bf x}_k$${\bf P}_k$

${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$\bf{R_k}$

$\bf{H_k^-}$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Estoy trabajando en el algoritmo Kalman Filter (KF). Observé que la ganancia de Kalman se ocupa de la convergencia del algoritmo con el tiempo, es decir, qué tan rápido el algoritmo corrige y minimiza el residual.

Al llegar a la ecuación, elija un valor de ganancia de kalman inicial y varíelo de menor a mayor, que puede proporcionarle uno aproximado.