¿Cómo derivar el predictor de filtro estacionario de Kalman?

En su capítulo sobre los filtros de Kalman, mi libro DSP afirma, aparentemente de la nada, que el filtro de Kalman estacionario para un sistema

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

tiene el predictor

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

y covarianza de vector de estado estacionario y ganancia de Kalman

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+R)-

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

donde y R denotan las covarianzas del ruido de entrada w y el ruido de medición v , respectivamente.$Q$$R$$w$$v$

No puedo ver cómo llegar a esto desde el predictor de varianza mínima. ¿Podría alguien explicármelo o señalarme un recurso que derive la expresión? Este es el filtro de varianza mínima de variante de tiempo, que puedo derivar:

P(t+1|t)=A(P(t|t-1)-P(t

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

No estoy seguro de cómo ir desde aquí al filtro estacionario de arriba.

$\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$$K(t)=A\bar{K}$$A$$K$$\bar{K}$

Sus derivaciones son correctas.

$\bar P = P(t|t-1)$$K(t) = A \bar K$

¿Es esta tu confusión?

1. $t|t-1$
2. ¿Cómo puede ser "estacionario" cuando su derivación muestra que varía en el tiempo?

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1. Mala elección de la notación en la del libro parte

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. Malentendido de la palabra "estacionario".

$P$$K$$\bar P$$\bar K$

• Valores anteriores de ellos mismos
• $A$$C$$A$$C$
• $Q$$R$

$K$$P$$y$

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Conclusión:

Las ecuaciones de "variante de tiempo" que obtuvo fueron equivalentes a las del libro. Además, las diferencias notacionales, hubo un ligero malentendido de su parte con respecto a qué cambios y qué no.