¿Cuáles son las diferencias entre la estimación de error 'a priori' y 'posteriori' en el análisis numérico?

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He aprendido sobre el método de elementos finitos (también un poco sobre otros métodos numéricos) pero no sé cuáles son exactamente la definición de estos dos errores y las diferencias entre ellos.

Anh-Thi DINH
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Las estimaciones a priori (del latín "del anterior") dependen solo de la solución exacta, pero no de la aproximada calculada y, por lo tanto, pueden evaluarse (en teoría, si no en la práctica) antes de calcular la solución. Por el contrario, las estimaciones a posteriori (del latín "de la posterior") dependen de la solución calculada pero no de la solución exacta, por lo que requieren calcular la solución, pero en realidad pueden evaluarse en la práctica.
Christian Clason
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@ChristianClason - ¡haz de esto una respuesta!
Wolfgang Bangerth

Respuestas:

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Las estimaciones de error generalmente tienen la forma donde u es la solución exacta que le interesa, u_h es una solución aproximada calculada, h es un parámetro de aproximación que puede controlar y C (h) es alguna función de h (entre otras cosas). En los métodos de elementos finitos, u es la solución de una ecuación diferencial parcial y u_h sería la solución de elementos finitos para una malla con un tamaño de malla h , pero tiene la misma estructura en problemas inversos (con el parámetro de regularización \ alpha en lugar de hu u h h C ( h ) h u u h h α h

tu-tuhC(h),
tutuhhC(h)htutuhhαh) o métodos iterativos para resolver ecuaciones o problemas de optimización (con el índice de iteración k - o más bien 1/ /k - en lugar de h ). El objetivo de tal estimación es ayudar a responder la pregunta "Si quiero entrar, digamos, 10-3 de la solución exacta, ¿qué tan pequeño tengo que elegir h ?"

La diferencia entre las estimaciones a priori y posterior está en la forma del lado derecho C(h) :

  • En estimaciones a priori , el lado derecho depende de (generalmente explícitamente) , pero no de . Por ejemplo, una estimación típica a priori para la aproximación de elementos finitos de la ecuación de Poisson tendría la forma con una constante dependiendo de la geometría del dominio y la malla. En principio, el lado derecho se puede evaluar antes de calcular (de ahí el nombre), por lo que podrá elegir antes de resolver cualquier cosa. En la práctica, ni ni se conocen (u u h - Δ u = f u - u h L 2c h 2 | u | H 2 , c u h h c | u | H 2 u c | u | f hhtutuh-Δtu=F

    tu-tuhL2Ch2El |tuEl |H2,
    CtuhhCEl |tuEl |H2tues lo que está buscando en primer lugar), pero a veces puede obtener estimaciones de orden o magnitud para revisando cuidadosamente las pruebas yutilizando los datos (que se conoce). El uso principal es como una estimación cualitativa: le dice que si desea reducir el error en un factor de cuatro, debe reducir a la mitad .CEl |tuEl |Fh
  • En estimaciones a posteriori , el lado derecho depende de y , pero no de . Una estimación posterior basada en un residuo simple para la ecuación de Poisson sería que podría La teoría se evaluará después de calcular . En la práctica, la norma es problemática de calcular, por lo que manipularía aún más el lado derecho para obtener un elemento enlazado en sentido htuhtu

    tu-tuhL2ChF+ΔtuhH-1,
    tuhH-1
    tu-tuhL2C(KhK2F+ΔtuhL2(K)+FhK3/ /2j(tuh)L2(F)),
    donde la primera suma es sobre los elementos de de la triangulación, es el tamaño de , la segunda suma es sobre todos los límites del elemento , y denota el salto de la derivada normal de través . Esto ahora es totalmente computable después de obtener , excepto por la constante . Entonces, nuevamente, el uso es principalmente cualitativo: le dice qué elementos dan una contribución de error más grande que otros, por lo que en lugar de reducir uniformemente, simplemente selecciona algunos elementos con grandes contribuciones de error y los hace más pequeños subdividiéndolos. Esta es la base deKhKKFj(tuh)tuhFtuhChMétodos adaptativos de elementos finitos .
Christian Clason
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Esta respuesta es exactamente lo que necesito, muchas gracias.
Anh-Thi DINH