¿Cómo incorporar las condiciones de contorno con el método Galerkin?

He estado leyendo algunos recursos en la web sobre los métodos de Galerkin para resolver PDEs, pero no tengo claro algo. Lo siguiente es mi propio relato de lo que he entendido.

Considere el siguiente problema de valor límite (BVP):

$$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$$

donde es un operador de diferenciación lineal de segundo orden, Ω ⊂ R 2 es el dominio del BVP, ∂ Ω es el límite del dominio y S es un operador diferencial lineal de primer orden. Exponga u ( x , y ) como una aproximación de la forma:$L$$\Omega\subset\mathbb{R}^2$$\partial\Omega$$S$$u(x,y)$

$$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$$

donde el son un conjunto de funciones que vamos a utilizar para aproximar u . Sustituyendo en el BVP:$g_i$$u$

$$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$$

Como nuestra aproximación no es exacta, la residual no es exactamente cero. En el método de Galerkin-Ritz-Raleigh minimizamos R con respecto al conjunto de aproximar funciones requiriendo ⟨ R , g i ⟩ = 0 . Por lo tanto$R$$R$$\langle R,g_i \rangle = 0$

$$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$$

Por lo tanto, para encontrar los coeficientes , debemos resolver la ecuación matricial:$a_i$

$$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$$

Mi pregunta es: ¿Cómo incorporo las condiciones de contorno en esto?

EDITAR: Originalmente, la pregunta decía que era un operador diferencial lineal de segundo orden. Lo cambié a un operador diferencial lineal de primer orden.$S[u]$

A respuestas rápidas y generales sin abstracciones matemáticas. Hay varias opciones para imponer condiciones de contorno, p. Ej.

Estrictamente hablando, el método de Galerkin requiere que elija un conjunto de funciones básicas que satisfagan el BC del problema (por ejemplo, mediante recombinación de base y / o división de la aproximación con u 0 responsable de las soluciones no homogéneas y u N una suma parcial que se basa en funciones básicas que satisfacen las condiciones homogéneas)$u_h=u_0+u_N$$u_0$$u_N$

• Métodos de penalización / Lagrange se multiplica cuando uno esencialmente agrega un término de penalización que incorpora la condición límite, por ejemplo, A + donde B es una matriz responsable de la condición de límite discreta y b p es responsable de términos no homogéneos. En el límite τ → ∞ las condiciones se imponen fuertemente y, de lo contrario, se imponen débilmente. Elección de$\tau*B = b + \tau*b_p$$B$$b_p$$\tau\to\infty$$\tau$ afecta el condicionamiento del sistema.

• Método de Tau donde se intercambian varias ecuaciones (modificación de filas en el sistema Galerkin) con versiones discretas de condiciones de contorno que luego se aplican explícitamente. Nota: una opción también es hacer que los sistemas estén sobredeterminados con condiciones de contorno adicionales.

• Antes de la discretización (Método Ritz), reescriba la formulación de Galerkin mediante el teorema de divergencia de Gauss para transformar las integrales de volumen en integrales de límite y luego incorporar (exacto o aproximadamente) las condiciones de límite directamente en la formulación antes de la discretización.

• Finalmente, al explotar la conexión entre expansiones nodales / modales también es posible derivar un método de Galerkin nodal donde la solución al sistema son los coeficientes de una base de Lagrange en lugar de una base modal.

Una posibilidad es ensamblar la matriz del sistema y el vector del lado derecho$A$, con los grados de libertad prescritos como incógnitas, como cualquier otro grado de libertad. Luego, A y b se modifican poniendo a cero las filas y columnas asociadas con los dof prescritos, y colocando uno en la entrada diagonal correspondiente, y modificando adecuadamente el vector rhs$b$$A$$b$$b$ .

Cuando pone a cero las filas, coloque una en la diagonal y cambie las rhs para que aplique el valor prescrito, el sistema ya no es simétrico. Es por eso que pone a cero columnas y modifica el vector rhs $b$ para tener en cuenta el valor prescrito.

Otra posibilidad es agregar un número muy grande (generalmente 1e10) a la diagonal del dof prescrito y luego establecer la entrada de rhs en p * ˉ $p$$\bar{u}$ , donde es el valor prescrito de ese dof.$\bar{u}$

El problema general de lidiar con las condiciones de contorno con el método de elementos finitos puede ser bastante complicado. Pero si:

• es tal que la única imposición que S ( u ) = 0 hace en forma de u es que es igual a alguna f ( x , y $S(u)$$S(u)=0$$u$$f(x,y)$ en .$\delta \Omega$

• Puede determinar sus elementos para que esté completamente en los límites de varios elementos$\delta \Omega$

En realidad es muy simple. Su ecuación:

necesidades para ser reemplazados con (

$$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$$ $$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$$

donde el vector lado derecho representa las condiciones de contorno.$\mathbf{b}$

Para determinar , establezca los elementos de su base que determinan el valor de u en δ Ω a los valores que necesitan ser para satisfacer las condiciones de contorno. En ⟨ L [ g j ] , g i ⟩ , debe excluirlos de la g j pero no la g i (los elementos de una ya se haya determinado que corresponden a estas funciones, por lo que no deben ser incluidos en la matriz ecuación) A continuación, configure ⟨ R , g i ⟩ = j $\mathbf{b}$$u$$\delta \Omega$$\langle L[g_j],g_i \rangle$$g_j$$g_i$$\mathbf{a}$como una ecuación matricial, y los valores de los elementos debdebe salir bien como los productos interiores deLoperativo en su su base interior con elementos de su base límite.

$$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$$ $\mathbf{b}$$L$

Aquí hay un método conocido como recombinación de base , que no se ha mencionado en el presente hilo. Cito del libro de JP Boyd, "Métodos espectrales de Chebyshev y Fourier", segunda edición, capítulo 6.5 .:

$$L u = f$$ $B(x)$$v(x)$$g(x)$ $$u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$$ $$L v = g$$ $v(x)$

$B(x)$

Luego viene mi propia explicación:

• $$\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$$

  $B(x)$

  $$\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$$

• $$u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$$ $$\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$$ $x=x_0$

• $\phi_i(x)$$\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$$i$

• $=1$$\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$

  $$\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$$ $1$$y$$a_{ij}$

Lo bueno de todo este enfoque es que está trabajando en un nivel relativamente abstracto. Los ingredientes necesarios son solo la linealidad del operador BC y un ansatz en términos de funciones básicas del producto. Como tal, también es aplicable a métodos aproximados.