¿Cuáles son los criterios para elegir entre diferencias finitas y elementos finitos?

Estoy acostumbrado a pensar en las diferencias finitas como un caso especial de elementos finitos, en una cuadrícula muy restringida. Entonces, ¿cuáles son las condiciones sobre cómo elegir entre el Método de diferencia finita (FDM) y el Método de elementos finitos (FEM) como método numérico?

Del lado del Método de diferencia finita (FDM), se puede contar que son conceptualmente más simples y fáciles de implementar que el Método de elemento finito (FEM). Las FEM tienen el beneficio de ser muy flexibles, por ejemplo, las cuadrículas pueden ser muy poco uniformes y los dominios pueden tener una forma arbitraria.

El único ejemplo que sé donde FDM ha resultado ser superior a FEM es en Celia, Bouloutas, Zarba , donde el beneficio se debe al método FD que usa una discretización diferente de derivada del tiempo, que, sin embargo, podría arreglarse para el método de elementos finitos. .

Es posible escribir los métodos de diferencias finitas más específicos como métodos de elementos finitos de Petrov-Galerkin con alguna elección de reconstrucción local y cuadratura, y la mayoría de los métodos de elementos finitos también pueden ser algebraicamente equivalentes a algún método de diferencias finitas. Por lo tanto, debemos elegir un método basado en el marco de análisis que queremos usar, qué terminología nos gusta, qué sistema de extensibilidad nos gusta y cómo nos gustaría estructurar el software. Las siguientes generalizaciones son válidas en la gran mayoría de las variaciones en el uso práctico, pero se pueden eludir muchos puntos.

Diferencia finita

Pros

• Implementación eficiente sin cuadratura
• independencia de la relación de aspecto y conservación local para ciertos esquemas (por ejemplo, MAC para flujo incompresible)
• métodos no lineales robustos para el transporte (por ejemplo, ENO / WENO)
• Matriz M para algunos problemas
• principio máximo discreto para algunos problemas (por ejemplo, diferencias finitas miméticas)
• matriz de masa diagonal (generalmente identidad)
• los residuos nodales de bajo costo permiten una multirrejilla no lineal (FAS) eficiente
• Los alisadores Vanka a nivel celular proporcionan suavizadores eficientes sin matriz para un flujo incompresible

Contras

• más difícil de implementar "física"
• las cuadrículas escalonadas son a veces bastante técnicas
• es más difícil que el segundo orden en cuadrículas no estructuradas
• sin ortogonalidad de Galerkin, por lo que la convergencia puede ser más difícil de probar
• no es un método de Galerkin, por lo que la discretización y los adjuntos no conmutan (relevante para la optimización y los problemas inversos)
• problemas continuos autoadjuntos a menudo producen matrices no simétricas
• la solución solo se define puntualmente, por lo que la reconstrucción en ubicaciones arbitrarias no se define de forma exclusiva
• las condiciones de contorno tienden a ser complicadas de implementar
• los coeficientes discontinuos generalmente hacen que los métodos sean de primer orden
• la plantilla crece si la física incluye "términos cruzados"

Elemento finito

Pros

• Ortogonalidad de Galerkin (la solución discreta para problemas coercitivos está dentro de una constante de la mejor solución en el espacio)
• flexibilidad geométrica simple
• Galerkin discontinuo ofrece un algoritmo de transporte robusto, orden arbitrario en cuadrículas no estructuradas
• $L^2$
• fácil de implementar condiciones de contorno
• puede elegir la declaración de conservación eligiendo el espacio de prueba
• discretización y viaje adjunto (para los métodos de Galerkin)
• base elegante en análisis funcional
• en orden superior, los núcleos locales pueden explotar la estructura del producto tensorial que falta con FD
• La cuadratura de Lobatto puede hacer que los métodos ahorren energía (suponiendo un integrador de tiempo simpléctico)
• precisión de alto orden incluso con coeficientes discontinuos, siempre que pueda alinearse con los límites
• Los coeficientes discontinuos dentro de los elementos se pueden acomodar con XFEM
• fácil de manejar en múltiples condiciones de inf-sup

Contras

• muchos elementos tienen problemas con una alta relación de aspecto
• FEM continuo tiene problemas con el transporte (SUPG es difusivo y oscilatorio)
• DG generalmente tiene más grados de libertad para la misma precisión (aunque HDG es mucho mejor)
• FEM continuo no proporciona problemas nodales baratos, por lo que los suavizadores no lineales tienen constantes mucho más pobres
• generalmente más nonzeros en matrices ensambladas
• tiene que elegir entre una matriz de masa consistente (algunas propiedades agradables, pero tiene inversa completa, lo que requiere una resolución implícita por paso de tiempo) y una matriz de masa agrupada.

Esta pregunta puede ser demasiado amplia para tener una respuesta significativa. La mayoría de las personas que responden solo estarán familiarizadas con algún subconjunto de todos los tipos de discretizaciones de FD y FE que pueden usarse. Tenga en cuenta que tanto FD como FE

• se puede implementar en cuadrículas estructuradas o no estructuradas (consulte este documento para ver solo un ejemplo de un método FD en una cuadrícula no estructurada)
• se puede extender a un alto nivel de precisión arbitraria (¡de muchas maneras!)
• puede usarse para discretizar en el espacio y / o en el tiempo , quizás en combinación
• utilizar funciones de base locales o globales (estas últimas conducen a métodos espectrales de tipo FD y FE)
• puede basarse en un espacio funcional continuo o discontinuo
• puede ser espacialmente explícito o implícito
• puede ser temporalmente explícito o implícito

Tienes la idea. Por supuesto, en una disciplina particular, los métodos FD y FE que las personas implementan y usan comúnmente pueden tener características muy diferentes. Pero esto generalmente no se debe a ninguna limitación inherente de los dos enfoques de discretización.

Con respecto a los esquemas FD de orden arbitrariamente alto: los coeficientes de los esquemas FD de alto orden pueden generarse automáticamente para cualquier orden; ver el libro de LeVeque , por ejemplo. Los métodos de colocación espectral, que son métodos FD, convergerán más rápido que cualquier potencia del espaciado de malla; ver el libro de Trefethen , por ejemplo.

Ventajas de los elementos finitos (FE):

• método variacional (p. ej., las energías siempre caen al aumentar la "p" para la ecuación de Schroedinger, lo cual no es cierto para FD)
• preciso en pedidos altos (p = 50 más más)
• una vez implementado, es fácil hacer una convergencia sistemática tanto en "p" como en "h" (en lugar de tener esquemas FD especiales para cada orden)

Ventajas de las diferencias finitas (FD):

• más fácil de implementar para pedidos inferiores
• posiblemente más rápido que FE para precisiones más bajas

A veces la gente dice "diferencias finitas" para significar un integrador de EDO como Runge-Kutta o el método Adams. En ese caso, hay otra ventaja de FD:

• posible resolver ODE no lineales directamente

mientras que FE necesita alguna iteración no lineal como el método de Newton.

Varias respuestas agradables ya declararon que los Pros de los métodos de elementos finitos son flexibles y poderosos, aquí daré otra ventaja de FEM, desde el punto de vista del espacio Sobolev y la geometría diferencial, es que la posibilidad de que el espacio de elementos finitos herede la condición de continuidad física del Sobolev espacios donde se encuentra la verdadera solución.

Por ejemplo, elemento de cara Raviart-Thomas para elasticidad plana y método mixto para difusión; Elemento de borde Nédélec para electromagnetismo computacional.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

el rango del operador es el espacio nulo del siguiente operador, y hay muchas buenas propiedades al respecto, si pudiéramos construir un espacio de elementos finitos para heredar esta secuencia exacta de Rham, entonces el método de Galerkin basado en este espacio de elementos finitos Ser estable y converger a la solución real. Y podríamos obtener la propiedad de estabilidad y aproximación del operador de interpolación simplemente mediante el diagrama de conmutación de la secuencia de Rham, además podríamos construir la estimación de error a posteriori y el procedimiento de refinación de malla adaptativa basado en esta secuencia.

Para obtener más información al respecto, consulte el artículo de Douglas Arnold en Acta Numerica: " Cálculo exterior de elementos finitos, técnicas homológicas y aplicaciones " y una diapositiva que presenta brevemente la idea

Es importante distinguir entre esquemas espaciales y temporales.

Los elementos finitos a menudo usan diferencias finitas para integrar términos temporales (por ejemplo, Euler explícito, implícito, Crank-Nicholson o Runga Kutta para difusión transitoria) y elementos finitos para discretización espacial.

Los elementos finitos se prestan muy bien a mallas irregulares. Pueden basarse en principios variacionales, pero generalmente se generalizan utilizando el método de los residuos ponderados. Es fácil desarrollar bibliotecas de elementos que usan diferentes órdenes polinomiales y aplican restricciones como la incompresibilidad usando multiplicadores de Lagrange.

Ambas formulaciones son los medios para un fin: expresar una ecuación diferencial en términos de sistemas de ecuaciones y álgebra lineal.

Las declaraciones sobre la velocidad de un método sobre otro deben calificarse describiendo el algoritmo. Por ejemplo, lanzar problemas mecánicos como problemas de dinámica hiperbólica puede dar resultados más rápidos en algunos casos, porque reemplazan la descomposición de la matriz con multiplicación y suma.

Admito que sé mucho más sobre los métodos de elementos finitos que las diferencias finitas. FEM está disponible en paquetes comerciales y se usa ampliamente en la industria y la academia para resolver problemas en mecánica de sólidos y transferencia de calor. Creo que las diferencias finitas o los enfoques de volumen finito se utilizan en la dinámica de fluidos computacional.