¿Cuál es la idea general del método de Nitsche en el análisis numérico?

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Sé que el método de Nitsche es un método muy atractivo, ya que permite tener en cuenta las condiciones de contorno de tipo Dirichlet o el contacto con las condiciones de límite de fricción de manera débil sin el uso de multiplicadores de Lagrange. Y su ventaja, que es transformar una condición límite de Dirichlet en términos débiles de manera similar a una condición límite de Neumann, se paga por el hecho de que la implementación depende del modelo.

Sin embargo, parece ser demasiado general para mí. ¿Me puede dar una idea más específica de este método? Un simple ejemplo sería apreciado.

Anh-Thi DINH
fuente
No creo que entienda bien tu pregunta. Identifica correctamente por qué se inventó el método (para manejar las condiciones de Dirichlet en la forma débil). ¿Qué quiere decir con "Sin embargo, parece ser demasiado general para mí. ¿Puede darme una idea más específica de este método? Un ejemplo simple es costoso".
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth: Necesito un ejemplo (simple) para esta idea. Es muy abstracto para mí.
Anh-Thi DINH
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@ Oliver: ¿Asumo que quieres decir "costoso" como en "querido", "precioso", es decir, "apreciado"? Me he tomado la libertad de cambiar la palabra; Si no está de acuerdo, no dude en revertir la edición.
Christian Clason

Respuestas:

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El método de Nitsche está relacionado con los métodos discontinuos de Galerkin (de hecho, como señala Wolfgang, es un precursor de estos métodos), y puede derivarse de manera similar. Consideremos el problema más simple, la ecuación de Poisson:

(1){-Δtu=Fen Ω,tu=solen Ω.
Ahora estamos buscando una formulación variacional que
  1. se satisface con la solución (débil) (es decir, consistente),tuH1(Ω)
  2. es simétrico en y v ,tuv
  3. admite una solución única (lo que significa que la forma bilineal es coercitiva).

Comenzamos como de costumbre tomando la forma fuerte de la ecuación diferencial, multiplicando por una función de prueba e integrando por partes. Comenzando con el lado derecho, obtenemos ( f , v ) = ( - Δ u ,vH1(Ω) donde en la última ecuación hemos agregado el cero productivo0=u-gen el límite. Reorganizar los términos para separar formas lineales y bilineales ahora da una ecuación variacional para una forma bilineal simétrica que se satisface para la soluciónuH1(Ω)de(1).

(F,v)=(-Δtu,v)=(tu,v)-Ωνtuvres=(tu,v)-Ωνtuvres-Ω(tu-sol)νvres
0 0=tu-soltuH1(Ω)(1)

Sin embargo, la forma bilineal no es coercitiva, ya que no se puede vincular desde abajo para por c v 2 H 1 (ya que no tenemos condiciones límite para arbitraria v H 1 ( Ω ) , no podemos usar La desigualdad de Poincaré como de costumbre: esto significa que podemos hacer que la parte L 2 de la norma sea arbitrariamente grande sin cambiar la forma bilineal). Entonces, necesitamos agregar otro término (simétrico) que desaparezca para la verdadera solución: η Ω ( u - g ) vtu=vCvH12vH1(Ω)L2 para algunos η > 0 lo suficientemente grande. Esto lleva a la formulación débil (simétrica, consistente, coercitiva): Encuentre u H 1 ( Ω ) tal que ( u , v ) - Ων u vηΩ(tu-sol)vresη>0 0tuH1(Ω)

(tu,v)-Ωνtuvres-Ωtuνvres+ηΩtuvres=-Ωsolνvres+ηΩsolvres+ΩFvreXpara todos vH1(Ω).

tu,vH1(Ω)tuh,vhVhH1(Ω)ηCh-1C>0 0

(Esta no es la derivación original de Nitsche, que es anterior a los métodos discontinuos de Galerkin y parte de un problema de minimización equivalente. De hecho, su trabajo original no menciona la forma bilineal correspondiente, pero puede encontrarla en, por ejemplo, Freund y Stenberg, Sobre condiciones límite impuestas débilmente para problemas de segundo orden , Actas de los Novenos Elementos Conf. Int. Confitados en Fluidos, Venecia 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. Pp. 327-336 .)

Christian Clason
fuente
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Su primera oración no es incorrecta, pero históricamente inexacta: la idea de Nitsche fue lo primero e inspiró el desarrollo de métodos discontinuos de Galerkin. Dicho esto, esto no quita la excelente respuesta.
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth Por supuesto, tienes razón; no se implicaba causalidad, solo correlación. Pero es importante otorgar la atribución adecuada, especialmente a las personas que de otro modo se desplazarían. Lo editaré para que quede claro.
Christian Clason
Preguntas: 1. ¿Podría elaborar más sobre el tema de la coercitividad antes de agregar el término límite adicional? 2. ¿Qué significa "no conforme" aquí? 3. ¿Creí leer que la estabilidad es un resultado automático de la coercitividad de la forma bilineal? Aunque esta explicación es bastante buena (la única explicación que he podido encontrar de hecho), ¿alguien puede vincular a otra explicación general del método (y / o su derivación) solo para comparar? Incluso si pudiera localizar el papel original, no estoy seguro de que sería de mucha ayuda. El artículo de Freund y Stenberg solo da una breve sinopsis y un par específico
Noches del
No conformidad: el espacio de solución discreta Vh no es un subespacio del espacio de solución continua Hsol1(Ω)- porque las condiciones de contorno de Dirichlet se aplican solo en un sentido débil. Aquí hay un enlace potencialmente útil .
GoHokies
@ Noches He editado la respuesta para abordar sus puntos (excepto que en su segundo párrafo, obviamente).
Christian Clason