Calcular la elasticidad de sustitución de las preferencias de Epstein-Zin

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Deje que se dé una secuencia de consumo C=(C0,C1,...) y deje Ct+=(Ct,Ct+1,...) . Ahora, supongamos que tengo preferencias de Epstein-Zin,
Ut(Ct+)=f(Ct,q(Ut+1(Ct+1+)))Ut={(1β)Ct1ρ+β(Et[Ut+11γ])1ρ1γ}11ρ,
donde f es el agregador de tiempo y q es el condicional operador equivalente de certeza. Es decir,
f(c,q)=((1β)c1ρ+βq1ρ)11ρ
y
qt=q(Ut+1)=(Et[Ut+11γ])11γ.
¿Cómo demuestro que la elasticidad intertemporal de sustitución es ρ1 ?
jmbejara
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Hola. En su respuesta, usted escribió "Avíseme si alguien tiene un enfoque más limpio / claro", pero no ha respondido en absoluto al enfoque que propuse. ¿Algún comentario?
Alecos Papadopoulos
He comentado a continuación.
jmbejara

Respuestas:

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Aquí está mi solución. Avíseme si alguien tiene un enfoque más limpio / claro.

Considere una secuencia de consumo fija (no aleatoria) . Entonces, la elasticidad de la sustitución intertemporal (EIS) se define como Para calcular esta cifra, comencemos calculando Además, C=(C0,C1,...)

EIS=|dln(Cs/Ct)dlnMRSs,t|=|dln(CsCt)dln(U/CsU/Ct)|.
UtCt=fc(Ct,qt(Ut+1(Ct+1+)))=11ρ((1β)Ct1ρ+βq1ρ)ρ1ρ(1β)(1ρ)Ctρ=(1β)ftρCtρ.
UtCt+1=fqdqtdUt+1Ut+1Ct+1.
Será más fácil calcular estas piezas en partes. Primero, A continuación, considere . Esto se simplifica por el hecho de que no es aleatorio, Finalmente, que se deduce de nuestro cálculo anterior. Así,
fq=βfρqtρ.
dqtdUt+1C
dqtdUt+1=qtγUt+1γ=1.
Ut+1Ct+1=(1β)ft+1ρCt+1ρ,
UtCt+1=fqdqtdUt+1Ut+1Ct+1=βftρqtρ(1β)ft+1ρCt+1ρ,
donde y . Ahora, podemos calcular Ahora, dejemos Luego, tomando los diferenciales, ft=f(Ct,qt)qt=q(Ut+1(Ct+1+))
Ut/Ct+1Ut/Ct=βftρqtρ(1β)ft+1ρCt+1ρ(1β)ftρCtρ=βqtρft+1ρ(Ct+1Ct)ρ
pt+1pt=Ut/Ct+1Ut/Ct.
d(ptp0)=Ut/Ct+1Ut/Ct(Ct+1Ct)1(ρ)dCt+1Ct.
Entonces, Ahora, conectando esto a la definición del EIS,
d(Ct+1Ct)d(pt+1pt)pt+1ptCt+1Ct=(Ut/Ct+1Ut/Ct(Ct+1Ct)1(ρ))1pt+1ptCt+1Ct=Ct+1Ctpt+1ptpt+1ptCt+1Ctρ1=ρ1.
EIS=|dln(CsCt)dln(U/CsU/Ct)|=|d(Ct+1Ct)d(pt+1pt)pt+1ptCt+1Ct|=ρ1.
jmbejara
fuente
Después de su derivación, excepto para una pieza: . ¿Puedes explicar por qué desaparece el operador de expectativa? Específicamente por qué no es esto:\ddqt\ddUt+1\ddqt\ddUt+1=qtγEtUt+1γ
Alex
@Alex. Es porque asumí que una secuencia de consumo fija (no aleatoria). Cuando tenga algo de tiempo, me gustaría intentarlo de nuevo sin hacer esa suposición.
jmbejara
0

Al usar la notación compacta y un tratamiento en negrita del símbolo diferencial , creo que puede atajar esto significativamente.d

Matemáticamente, esta es una función CES bivariada, por lo que sabemos que la elasticidad de sustitución será constante entre los dos argumentos, sean cuales sean.

f(c,q)=((1β)c1ρ+βq1ρ)11ρ=[h(c,q]11ρ

Entonces

fc=11ρ[h(c,q]11ρ1hc

y

fq=11ρ[h(c,q]11ρ1hq

Asi que

f/cf/q=hchq=(1β)β(c/q)ρ

Promover

ln(f/cf/q)=ln(1β)βρln(c/q)

d[ln(f/cf/q)]=ρdln(c/q)

ya que el primer término es una constante. Así que finalmente,

EIS=|dln(c/q)dln(f/cf/q)|

=|dln(c/q)ρdln(c/q)|=ρ1

No le digas a tu amigo el matemático, pero dile a Leibniz.

Alecos Papadopoulos
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Esto es definitivamente más limpio. Mi única preocupación era que, técnicamente, esto parece dar la elasticidad de sustitución entre el consumo actual y el valor de continuación . Si bien esto resulta ser lo mismo que el EIS entre el consumo hoy y el consumo mañana , no creo que sepa lo suficiente sobre las preferencias de Epstein-Zin (y las preferencias recursivas, en general) para comentar en cuanto a cuándo será o no el caso en general. cqCtCt+1
jmbejara
@jmbejara De hecho, dada la especificación CES (que es una estructura matemática, independientemente de la interpretación que le otorguemos a los símbolos), la "elasticidad de sustitución" se calcula necesariamente entre sus dos argumentos, que de hecho son y . Ctqt
Alecos Papadopoulos