¡La relación entre la función de gasto y muchas otras!

No entiendo las relaciones entre la demanda hicksiana, la demanda walrasiana (marshalliana), la función de gasto y la función de utilidad indirecta (incluida la función de valor V (b)). ¡He encontrado este tema muy difícil y no puedo comprender cómo se relacionan entre sí debido a la formalidad que se usa en los libros que tengo disponibles!

¡Entiendo cómo derivar la utilidad indirecta, sin embargo, necesito sentirme cómodo para mostrar cómo puedo usarla para derivar la función de gasto y el resto y cómo difieren en dualidades!

Siguiendo el excelente diagrama MWG en la respuesta de Amstell, la observación fundamental necesaria es que mantener fijo, e y v son inversas entre sí . e nos dice la cantidad que necesitamos gastar para obtener una cierta cantidad de utilidad u , mientras que v nos dice la cantidad máxima de utilidad que podemos obtener de un determinado gasto w . Siempre que queremos convertir de utilidad a riqueza, usamos e ; y cada vez que queremos convertir de riqueza a utilidad, usamos $p$$e$$v$$e$$u$$v$$w$$e$$v$ .

Todas las identidades clave pueden derivarse de esta observación. Por ejemplo, supongamos que queremos derivar una identidad para . Ya conocemos la identidad correspondiente para la función de gasto, ∂ e ( p , u ) / ∂ p i = h i ( p , u ) . Para convertir esto en una identidad para v , sustituimos w = e ( p , u $\partial v(p,w)/\partial p_i$$\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$$v$$w=e(p,u)$, obteniendo , y diferenciar con respecto a p i . La regla de la cadena implica ∂ v ( p , e ( p , u ) $v(p,e(p,u))=u$$p_i$ que, si dividimos entre-∂v/∂wen ambos lados, se convierte en la identidad de Roy.

$$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$$ $-\partial v/\partial w$

O supongamos que queremos derivar la ecuación de Slutsky, que da la relación entre los derivados de la demanda marshalliana y la demanda hicksiana (descomponer un cambio de la demanda marshalliana en efectos de sustitución y de ingresos). De forma análoga a la anterior, podemos sustituir en la demanda marshalliana x ( p , w ) para obtener x ( p , e ( p , u ) ) = h ( p , u ) . Luego, diferenciando con respecto a $w=e(p,u)$$x(p,w)$$x(p,e(p,u))=h(p,u)$$p_i$en ambos lados y aplicando la regla de la cadena da En general, creo que la heurística "cambiar entrewyusegún sea necesario usandovye" le permite obtener casi todo aquí. (Una heurística similar también es útil si alguna vez se ocupa de los sistemas de demanda Frisch, donde la utilidad marginalλjuega el mismo papel quewyuhacer en Marshalliano y sistemas de demanda de Hicks).

$$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$$ $w$$u$$v$$e$$\lambda$$w$$u$

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$\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$$w=e(p,u)$$\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$Teorema de la envolvente .

$\partial v/\partial p_i$$p_i$$\partial v/\partial w$$\partial v/\partial p_i$$\partial e/\partial p_i$

No estoy seguro de cuánto ayudará esto, pero el diagrama en Mas-Colell p.75 es algo que siempre tengo en mente al derivar estas funciones. No estoy seguro de qué libros estás usando, pero Microeconomics de Mas-Colell et al. es el recurso para graduarse. Pero prefiero el análisis microeconómico de Varian. Mucho más fácil de leer y todavía tiene el contenido importante necesario para el trabajo de nivel de posgrado. Desde mi experiencia, derivar tantas demandas walrasianas como sea posible y simplemente trabajar en el proceso es lo que me hizo sentir cómodo al comprender. Si está buscando ejemplos, puedo aplicar algunas fórmulas para mostrarle cómo funciona, pero parece que entiende esto. También tengo páginas y páginas de problemas de práctica si necesitas otro recurso también. Espero que esto ayude :)

Actualización: Aquí hay algunos problemas de práctica de algunos de mis conjuntos de problemas. Cuidado con el último. Disfrutar

Si es posible, calcule Hicksian, Walrasian, Gasto e Indirecto para cada uno de los siguientes:

1. $e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$

2. $e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$

3. $h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$

4. $x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Editar; Actualización para explicar # 4

4. $x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

Una de las propiedades de la Demanda Walrasiana es que la Ley de Walras es válida.

$px = w$

Una manera simple de demostrar que la Ley de Walras no se cumple es simplemente enchufar las demandas de la restricción de ingresos.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$