¿Ayuda a comprender los multiplicadores lagrangianos?

Estoy tratando de entender los multiplicadores lagrangianos y estoy usando un problema de ejemplo que encontré en línea.

Configuración del problema:

Considere un consumidor con la función de utilidad $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ , donde $\alpha \in (0,1)$ . Supongamos que este consumidor tiene riqueza $w$ y los precios $p =(p_x,p_y)$ . Eso es todo lo que nos dieron.

Trabajo que hice:

Luego definí una ecuación de restricción presupuestaria: $w = xp_x + yp_y$ . Luego también definí un Lagrangiano asociado para el problema de maximización del consumidor: $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

Mi pregunta:

¿Qué me permite hacer esta ecuación? Aunque lo configuré dada la fórmula en la página de Wikipedia sobre multiplicadores lagrangianos, realmente no tengo idea de cuál es el propósito de esta ecuación. Al igual que no entiendo cómo la ecuación como se me permite determinar cómo maximizar mi función de utilidad.

Nota: Estoy familiarizado con el cálculo multivariable y lagrangianos ( $L = T -V$ ) en física, pero este método es nuevo para mí.

Una función de optimización restringida maximiza o minimiza un objetivo sujeto a una o más restricciones. Según tengo entendido, el enfoque multiplicador lagrangiano transforma un problema de optimización restringido (I) en un problema de optimización sin restricciones (II) donde los valores de control óptimos para el problema II también son los valores de control óptimos para el problema I. Además, el objetivo funciona en Los problemas I y II toman los mismos valores óptimos. El truco es una forma inteligente de poner las restricciones en la función objetivo directamente en lugar de usarlas por separado.

Estoy de acuerdo con su presentación del problema de maximización del consumidor: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Ahora tomamos las derivadas parciales con respecto a x an y, las establecemos iguales a cero y luego resolvemos para x * e y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(ecuación 1)$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

Recupere la ecuación de restricción presupuestaria tomando la derivada parcial .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

(ecuación 2)$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (x, y) y podemos resolver para x * e y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(resultado 1)$\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

$w$

1. $x$$y$
2. $w$$\lambda$
3. $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. $\lambda$$w$$\lambda$
5. $\lambda$

$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Usar los multiplicadores de Lgrange para optimizar una función bajo restricciones es una técnica útil , aunque al final, proporciona información y conocimientos adicionales. Respetando el caso de las restricciones de igualdad, el problema

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

Por supuesto, se puede transformar en un problema sin restricciones por sustitución directa:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Pero en general, la sustitución directa puede producir expresiones engorrosas (especialmente en problemas dinámicos), donde será fácil cometer un error algebraico. Entonces el método Lagrange tiene una ventaja aquí. Además, el multiplicador de Lagrange tiene una interpretación económica significativa. En este enfoque, definimos una nueva variable, digamos , y formamos la "función lagrangeana"$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Primero, tenga en cuenta que es equivalente a , ya que la parte agregada a la derecha es idénticamente cero. Ahora maximizamos el Lagrangean con respecto a las dos variables y obtenemos las condiciones de primer orden.$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Al igualar a través de , esto proporciona rápidamente la relación fundamental$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Esta relación óptima, junto con la restricción presupuestaria, proporciona un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas y, por lo tanto, proporciona la solución en función de los parámetros exógenos (el parámetro de utilidad , los precios y la riqueza dada ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Para determinar el valor de , multiplique cada condición de primer orden por e respectivamente y luego sume por lados para obtener$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Con una utilidad homogénea de primer grado, como es el caso de las funciones de Cobb-Douglas, tenemos que

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

y así en el paquete óptimo tenemos

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Y así es como el multiplicador de Lagrange adquiere una interpretación económicamente significativa: su valor es la utilidad marginal de la riqueza . Ahora, en el contexto de la utilidad ordinal , la utilidad marginal no es realmente significativa (ver también la discusión aquí ). Pero el procedimiento anterior se puede aplicar, por ejemplo, a un problema de minimización de costos, donde el multiplicador de Lagrange refleja el aumento en el costo total por un aumento marginal en la cantidad producida, y así es el costo marginal.

Te recomiendo que trabajes en esta respuesta párrafo por párrafo, asegurándote de tener cada uno de ellos por turno, o te confundirás. Es posible que incluso desee ignorar las posteriores si no es necesario para su propósito.

La idea principal que se escucha es que si el punto es condición todo extremo, entonces es necesariamente un punto estacionario del lagrangiano, es decir, tal punto, que todas las derivadas parciales del lagrangiano son cero en él. Para resolver el problema, debe identificar todos los puntos estacionarios y luego encontrar el máximo entre ellos.

$x= 0$$y = 0$

$x$$y$$x = 0$$y=0$

En el futuro, debe tener en cuenta ese problema si dicho tipo debe resolverse generalmente aplicando el teorema de Kuhn-Tucker y le recomiendo que se familiarice con él después de comprender este material.

$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ $\lambda$

$\lambda_i$$i$

$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

$\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$