¿Cuál es un ejemplo de una función de utilidad donde un bien es inferior?

Digamos que el consumidor tiene una preferencia convexa y monótona estándar sobre las manzanas y los plátanos.

(Actualización: me gustaría que la preferencia sea lo más 'estándar' posible. Por lo tanto, idealmente tenemos MRS en disminución en todas partes y también tenemos "más es mejor" en todas partes).

Digamos que su preferencia puede ser representada por alguna función de utilidad . Debe satisfacer alguna restricción presupuestaria , donde es su ingreso. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Entonces, ¿cuál es un ejemplo de una función de utilidad en la que , al menos en algunas circunstancias? $\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Esto me parece una pregunta muy simple, pero brevemente en Google no puedo encontrar nada.

utility preferences Kenny LJ
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Respuestas:

Un bien no puede ser inferior en todo el rango de ingresos.

El documento A Convenient Utility Function with Giffen Behavior muestra que para una persona con utilidad del formulario:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X es inferior si y son positivos, , y en el dominio y . $\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

Actualización: Si el presupuesto es , entonces para es ~~inferior~~ pegajoso bueno . Se dio cuenta de que esto es en realidad una elasticidad de ingreso cero, no negativa, por lo que no es inferior.

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Encontré otra forma funcional funky para una función de utilidad en la que un bien es inferior pero también tiene una utilidad marginal creciente del otro bien: un bien inferior y un nuevo mapa de indiferencia

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Esa función da un mapa de indiferencia loco.

El ejemplo clásico para mí de productos inferiores son cosas como la comida barata, donde la comida deliciosa, que es mucho más cara, la desplaza porque hay una restricción adicional (capacidad del estómago) que finalmente se une. Debería ser fácilmente posible hacer un ejemplo donde la inferioridad es una consecuencia de esta segunda restricción en lugar de la función de utilidad.

Actualiza con otro ejemplo:

El artículo El caso de un "Giffen Good" (Spiegel (2014)) muestra que para una persona con utilidad de la forma: donde y son valores constantes y positivos.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Pero como en las funciones anteriores, esta función de utilidad tiene una MU creciente en un bien (Y). Esto es aparentemente común en la configuración de Giffen:

En el caso de una función de utilidad aditiva donde las utilidades marginales de todos los bienes disminuyen con el consumo de los bienes, es decir, la utilidad marginal del ingreso disminuye, todos los bienes son normales y sustitutos netos entre sí. Sin embargo, si para algún bien (en nuestro caso, bien Y) la utilidad marginal es positiva y aumenta y para el otro bien (s) la utilidad (es) marginal (es) está disminuyendo (en nuestro caso, bien X), entonces La utilidad marginal del ingreso está aumentando. El bien que exhibe una utilidad marginal creciente es un bien de lujo, mientras que el bien que exhibe una utilidad marginal decreciente es un bien inferior. Estas características fueron probadas por Liebhafsky (1969) y Silberberg (1972) y wen: utilizadas para desarrollar la función de utilidad anterior que ilustra el caso de un bien Giffen.

BKay
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Sin embargo, un problema con esta función es que no es una función de utilidad estándar. Como el propio autor escribe, "en el caso del bien Y, la utilidad marginal aumenta a medida que se consume más".

Kenny LJ

Si tiene requisitos de forma funcional adicionales, le recomiendo agregarlos a su pregunta para mejorar la calidad de las respuestas que obtiene.

BKay

Lo hice: dije que la preferencia debe ser convexa.

Kenny LJ

Entonces lo hiciste, lo siento.

BKay

Continuemos esta discusión en el chat .

BKay

Veamos qué implica la inferioridad de un bien en el caso de dos buenos. Consulte "La estructura de la economía" de Silberberg (que sigue siendo uno de los mejores libros de texto de microeconomía de pregrado jamás escritos), cap. 10 para más detalles.

La maximización de la utilidad se describe mediante (las estrellas indican niveles óptimos)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

y tenga en cuenta el uso del símbolo de identidad en lugar de la simple igualdad: estas relaciones siempre se mantienen en el nivel óptimo. Entonces podemos diferenciar ambos lados y mantener la identidad. Haga eso y resuelva el sistema de ecuaciones para determinar las diversas derivadas, y encontrará que si el bien es inferior, , entonces debemos tener ese $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Si estamos dispuestos a aceptar , entonces el transversal parcial puede ser cero, y podemos tener una función de utilidad como la mencionada en la respuesta de @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Pero si queremos mantener , entonces debe ser el caso de que , la derivada transversal parcial de la función de utilidad también debe ser estrictamente negativa (y, por lo tanto, no cero). Esto a su vez implica preferencias que no son separables , aditivas o multiplicativas. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Quizás puedas considerar algo como

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

y los cuatro parámetros positivos. Por ejemplo, para valores, el mapa de indiferencia es $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Mi conjetura es que para es posible que pueda tener toda la configuración estándar junto con la inferioridad de (y para valores adecuados de precios y otros parámetros, por supuesto). Encuentre las condiciones de primer orden, sustituya en términos de en la restricción presupuestaria y use el teorema de la función implícita para determinar las condiciones en los parámetros requeridos para . Y no olvide verificar si estas condiciones son compatibles con las condiciones de segundo orden para la maximización de la utilidad. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

COMENTARIO 7 de octubre de 2015
Algunos comentarios en esta respuesta me parecen confundir el tema de la representación de preferencias y la preservación de la clasificación de preferencias bajo transformaciones monótonas, con la propiedad de "inferioridad" de un bien. Las preferencias y su representación no tienen nada que ver con la existencia de una restricción presupuestaria. Por otro lado, la "inferioridad" tiene todo que ver con la existencia de una restricción presupuestaria y cómo afecta las elecciones ( no las preferencias) a medida que cambia.

Y la transfomración monotónica no deja todo "sin cambios". Considere la función de utilidad , y su transformación monotónica . Uno puede ver fácilmente que mientras , tenemos que . En otras palabras, las transformaciones monótonas pueden preservar la clasificación de los paquetes, pero esto no significa que den las mismas relaciones entre los bienes. Y como he escrito anteriormente, la propiedad de "inferioridad" depende de los signos y magnitudes relativas de las segundas derivadas parciales de la función de utilidad utilizada, signos y magnitudes relativas que dependen de la forma funcional real utilizada. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

Alecos Papadopoulos
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¿No da la misma preferencia de orden sobre los paquetes que ? Eso es solo preferencias similares a las de Cobb-Douglas después de tomar el registro, que no debería mostrar inferioridad, sino más bien compartir el presupuesto constantemente.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

BKay

Las funciones de utilidad Cobb-Douglas de @BKay representan preferencias separables. Como escribí en mi respuesta, es necesario (aunque no suficiente) tener no seperabilidad para poder tener inferioridad. Y esta forma funcional específica, a diferencia de las formas Cobb-Douglas, tiene esta propiedad de no separabilidad. Sin el logaritmo, no lo hace. Se lo dejo a cualquiera que esté interesado en explorarlo más a fondo.

Alecos Papadopoulos

Solo para señalar, como lo ha hecho @Bkay, es una transformación monotónica de . Entonces ambos representan la misma preferencia.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

Kenny LJ

@KenyLJ Lo que importa para su pregunta, que se trata de formas funcionales que pueden reflejar inferioridad, es si la forma funcional se caracteriza por la separabilidad o no (si se quiere mantener una segunda derivada decreciente de la función de utilidad).

Alecos Papadopoulos

Alecos, es alucinante. Lo que está diciendo es que una persona con exactamente las mismas preferencias (que son, ya que es una transformación monotónica) puede elegir diferentes paquetes de consumo, dependiendo de cómo escribiría su función de utilidad. Por favor ...

Es bastante complicado obtener modelos manejables con propiedades razonables / realistas. Sørensen da un caso general de bienes en Heijman et al. (2012) , pág. 100-3. Otro ejemplo, para dos bienes y con dominio limitado, lo da Haagsma (2012) . Verificar las referencias allí es la forma más fácil de obtener una colección sustancial de funciones de utilidad para bienes inferiores, aunque parece que hay más literatura sobre bienes Giffen que los inferiores menos exigentes. $n$

Con respecto a la discusión previa sobre la convexidad de las preferencias, las funciones de utilidad que producen diferentes funciones de demanda en una transformación monotónica positiva no son cuasiconcavas y, por lo tanto, las preferencias no son convexas, dado que la cuasiconcavidad se preserva con cualquier composición no decreciente. Que la función sugerida por Alecos Papadopoulos no es Cobb-Douglas debería ser fácil de ver.
Sin embargo, si es cuasiconcava, entonces producirá las mismas funciones de demanda (y los mismos efectos de precio e ingreso) que donde es positivo transformación monótona, independientemente de . débilmente siendo separables o no una advertencia: cuidado de los efectos sobre el dominio. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

dugo
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