Condiciones para una función de valor aditivo

En un problema estándar de corte de pastel justo , hay un intervalo real que se llama "pastel", y debe dividirse entre socios. Cada socio i tiene una función de valor subjetivo v i , que es una función aditiva en subconjuntos de la torta. Esto significa que, por cada dos subconjuntos disjuntos A y B :$n$$i$$v_i$$A$$B$

$$v_i(A\cup B)=v_i(A)+v_i(B)$$

Suponga que, en lugar de una función de valor, cada socio tiene una relación de preferencia .$\succeq_i$

Una relación de preferencia está representada por una función de valor v i iff:$\succeq_i$$v_i$

$$A\succeq_i B \iff v_i(A)\geq v_i(B)$$

¿Qué propiedades de la relación de preferencia garantizan que pueda representarse mediante una función de valor aditivo ?

NOTA: La utilidad Ordinal de la página de Wikipedia describe algunas condiciones bajo las cuales una relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditivo. Pero, se trata de preferencias en paquetes de bienes homogéneos. Aquí, las preferencias están en subconjuntos de un bien heterogéneo.

EJEMPLOS

$$u_1(A) = \text{len}(A)^2$$

$u_1$$v_1(A) = \text{len}(A)$

$$u_2(A) = \min[\text{len}(A\cap[0,4]),\text{len}(A\cap[4,8])]$$

La relación de preferencia representada por no puede representarse por una función aditiva. Prueba: supongamos por contradicción que la relación de preferencia está representada por una función aditiva . Entonces, porque:$u_2$$v_2$

$$u_2([0,1])=u_2([4,5])=u_2(\emptyset)$$

Esto también debe ser cierto para :$v_2$

$$v_2([0,1])=v_2([4,5])=v_2(\emptyset)$$

Por aditividad:

$$v_2([0,1]\cup[4,5])=v_2(\emptyset\cup\emptyset)=v_2(\emptyset)$$

Esto también debe ser cierto para :$u_2$

$$u_2([0,1]\cup[4,5])=u_2(\emptyset)$$

Una contradicción.

Esta es solo una respuesta parcial porque no se ajusta exactamente a su marco, pero espero que siga siendo útil (y es demasiado largo para un comentario).

Si está de acuerdo con discretizar su pastel en pedazos de pastel (posiblemente arbitrariamente pequeños), encontrará una respuesta en

• Kraft, CH, Pratt, JW y Seidenberg, A. (1959). Probabilidad intuitiva en conjuntos finitos. Los Anales de Estadística Matemática, 30 (2), 408–419.

la mayor parte del cual está muy bien resumido en la introducción de

• Fishburn, PC (1996). Probabilidad cualitativa lineal finita. Revista de psicología matemática, 40 (1), 64–77.

Aunque la configuración de los documentos es en términos de malabarismos de probabilidad, se puede reinterpretar desde un punto de vista de preferencia de la siguiente manera:

• Un conjunto finito de objetos (en su problema podría contener los pedazos del pastel)$S = \{1,2,\dots,n\}$$S$
• Una relación de preferencia más de el conjunto de subconjuntos de .$\succeq$$2^S$$S$
• La pregunta: ¿cuando es representable por una función de utilidad aditiva de .$\succeq$$U$$2^S$

Una conjetura clásica de De Finetti era que las siguientes condiciones deberían ser suficientes (aquí sigo la presentación en Fishburn (1996)):

• (Orden): en es un orden débil,$\succeq$$2^S$
• (No negatividad): para cada ,$A \succeq \emptyset$$A \in 2^S$
• (No trivialidad): ,$S \succ \emptyset$
• (Aditividad): para todos , si , entonces .$A,B,C \in 2^S$$(A\cup B) \cap C = \emptyset$$[A \succ B] \Leftrightarrow [(A\cup C) \succ (B\cup C)]$

de Finneti observó que eran necesarios pero no pudo determinar si eran suficientes. Finalmente, Kraft, Pratt y Seidenberg (1959) proporcionaron un contraejemplo, así como una condición adicional que, junto con los otros cuatro, implicaba la existencia de una representación aditiva:

• (Aditividad fuerte): para todos los y todos los , si y contienen el mismo número de réplicas de cada elemento de (es decir, si aparece tres veces en todos los conjuntos , también aparece tres veces en todos los conjuntos , etc.) y para todos , entonces no tenemos .$m\geq 2$$A_j,B_j \in 2^S$$(A_1,\dots,A_M)$$(B_1,\dots,B_M)$$S$$s_1$$A_j$$B_j$$A_j \succeq B_j$$j<m$$[A_m \succ B_m]$

La última condición a menudo se conoce en la literatura como la propiedad de "cancelación". Ahora (fuerte aditividad) no es la condición más intuitiva. En general, puede ser difícil de verificar y navegar, lo que ha estimulado una gran literatura sobre la condición alternativa suficiente. Puedo enviarle una lista de lectura si está interesado. Desafortunadamente, no recuerdo ningún documento que aborde directamente las preferencias sobre subconjuntos de conjuntos infinitos , como su intervalo real.

Desde mi experiencia con este tipo de problemas, cambiar el dominio sobre el que se definen las preferencias hace una gran diferencia en términos de los resultados que se mantienen y las técnicas de prueba que puede utilizar. Si un resultado aún no está disponible en la literatura, rara vez es fácil derivarlo de resultados aparentemente similares en diferentes dominios.

Lo único que puedo pensar que puede estar relacionado con su pregunta es el teorema de Debreu, que establece que las preferencias que son continuas pueden representarse mediante una función de utilidad continua. Por supuesto, si la función de utilidad es continua, también lo es la función de valor. Además, creo que la monotonicidad podría desempeñar un papel.