Tenemos un equilibrio dado por
$$ h_1 (x, y) = f (x) + z-y = 0, $$
$$ h_2 (x, y) = x-g (y) = 0 $$.
El teorema de la función implícita luego dice que (omitiendo los argumentos):
$$ \ frac {\ parcial x} {\ parcial z} = \ frac {- \ det \ left (
\ begin {matrix}
\ frac {\ partial h_1} {\ partial z} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial y} \\
\ frac {\ partial h_2} {\ partial z} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial y}
\ end {matrix} \ right)} {\ det \ left (
\ begin {matrix}
\ frac {\ partial h_1} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial y} \\
\ frac {\ partial h_2} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial y}
\ end {matrix} \ right)}, \ quad \ frac {\ partial y} {\ partial z} = \ frac {- \ det \ left (
\ begin {matrix}
\ frac {\ partial h_1} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial z} \\
\ frac {\ partial h_2} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial z}
\ end {matrix} \ right)} {\ det \ left (
\ begin {matrix}
\ frac {\ partial h_1} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial y} \\
\ frac {\ partial h_2} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial y}
\ end {matrix} \ right)}. $$
Mi fuente para esto es Métodos matemáticos y modelos para economistas. por Ángel de la Fuente, aunque ahora no tengo el libro para entregar y no puedo recordar la intuición.
Esto implica
$$ \ frac {\ parcial x} {\ parcial z} = \ frac {g '(y)} {1-f' (x) g '(y)} $$
$$ \ frac {\ parcial y} {\ parcial z} = \ frac {1} {1-f '(x) g' (y)}. $$
Para que el teorema de la función implícita sea válido y esta solución sea válida, necesitamos $ 1-f '(x) g' (y) \ neq0 $.
Más generalmente, la forma en que funciona es la siguiente: se escribe un sistema de ecuaciones cuyas raíces caracterizan el equilibrio:
$$ F_1 (\ mathbf {x}; a) = 0, F_2 (\ mathbf {x}; a) = 0, \ ldots, F_n (\ mathbf {x}; a) = 0 $$
(donde $ a $ es el parámetro de interés). A partir de ellos, construimos la función vectorial.
$$ \ mathbf {F} (x) = [F_1 (\ mathbf {x}; a), F_2 (\ mathbf {x}; a), \ ldots, F_n (\ mathbf {x}; a)] $$
que tiene la matriz jacobiana
$$ \ mathbf J = \ frac {d \ mathbf F} {d \ mathbf x}
= \ begin {bmatrix}
\ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_1} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_m} \\
\ vdots & amp; \ ddots & amp; \ vdots \\
\ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_1} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_m} \ end {bmatrix}. $$
Para calcular el derivado de $ x_i $ con respecto a $ a $, construimos el jacobiano modificado en el que reemplazamos la columna $ i ^ {\ text {th}} $ con el derivado WRT $ a $ en lugar de $ x_i $. Entonces, por $ x_1 $ esto se vería como
$$ \ mathbf {J} _ {x_1} = \ begin {bmatrix}
\ dfrac {\ partial F_1} {\ partial a} & amp; \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_2} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_m} \\
\ vdots & amp; \ vdots & amp; \ ddots & amp; \ vdots \\
\ dfrac {\ partial F_n} {\ partial a} & amp; \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_2} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_m} \ end {bmatrix}. $$
El derivado de interés se calcula entonces como $$ \ frac {\ partial x_i} {\ partial a} = \ frac {- \ det \ mathbf {J} _ {x_i}} {\ det \ mathbf {J}}. $ PS
Necesitamos $ \ det \ mathbf {J} \ neq0 $ para que el teorema de la función implícita sea válido.
