Aplicaciones / generalizaciones de un teorema de Debreu

Me gustaría saber cómo el último teorema en el artículo de Debreu "Agentes económicos vecinos" (La Decisión 171 (1969): 85-90; reimpreso en G. Debreu, Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), pp. 173 -178) se ha utilizado:

Teorema. Para un espacio topológico y un espacio métrico , supongamos que es un mapeo con valores establecidos de a que tiene un valor compacto (es decir, es compacto para cada ) y continuo . Además, para cada dejemos que sea ​​un preorden total en \ varphi (e) de modo que el conjunto \ {(e, x, y) \ en M \ veces H \ veces H: x \ lesssim_e y \} está cerrado. Luego, el mapeo con valor establecido \ varphi ^ 0 de M a H dondeH φ M H φ ( e ) e ∈ $M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$≲ $e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

es de valor compacto y superior hemi-continuo .

Tenga en cuenta que el teorema se parece al conocido Teorema máximo de Berge. Antes de la declaración del teorema, Debreu escribe que casos especiales de este "se han usado repetidamente en la teoría del equilibrio económico y en la teoría de juegos", pero no da ninguna referencia; En el documento en sí, se utiliza para demostrar la alta hemi-continuidad de la correspondencia de la demanda de un agente en una economía de intercambio.

Estoy especialmente interesado en saber si ha habido usos recientes o generalizaciones de este teorema, por ejemplo, en asignaciones que no sean de valor compacto.

Preguntas: ¿Cuáles son algunos buenos ejemplos y / o referencias para aplicaciones del teorema anterior? ¿Se ha generalizado a las asignaciones que no tienen un valor compacto?

Este resultado es de hecho una versión del teorema máximo de Berge. Si hay una función continua tal que si y solo si , se puede obtener el resultado directamente del teorema máximo de Berge. Si es localmente compacto, como es el caso si , entonces tal función siempre se puede encontrar, esto se deduce del Teorema 1 en Mas-Colell's On the Continuous Representation of Preorders (al menos si es metrizable, no estoy seguro en ese punto). Puede encontrar más información sobre tales "funciones de utilidad conjunta y continua" en el capítulo 8 de Representaciones de ordenamientos de preferencias$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, por Bridges & Mehta.

Ahora Debreu no tenía ese resultado disponible, por lo que trabajó con relaciones de preferencia y esencialmente reprobó el teorema máximo de Berge (la generalización es matemáticamente directa). ¿Por qué lo hizo él? Para entender eso, uno necesita entender el punto del artículo de Debreu, que es encontrar una topología sobre las relaciones de preferencia que tiene propiedades excelentes y hace que el comportamiento económico sea continuo. La necesidad de tal resultado proviene de la literatura sobre economías con un continuo de agentes.

¿Qué significa que una economía continua de agentes es el límite de una secuencia de eonomías finitas? Una respuesta es que la distribución de las características de los agentes converge a la distribución de características en la economía continua, por lo que la noción de convergencia es convergencia en la distribución. Para que esta idea sea operativa, es necesario topologizar las características de los agentes. Ahora, un agente se caracteriza por su dotación y sus preferencias (y en modelos más generales por su conjunto de consumo). Existe una topología natural en las dotaciones, la topología euclidiana, pero es menos sencillo topologizar las preferencias, y eso es lo que hizo Debreu en su artículo. Se puede encontrar una exposición de este enfoque de distribución en Hildenbrand 1974, Core and equilibrios of a large economy .

Ahora, hay casos en los que uno quisiera aplicar el teorema de Berge para conjuntos de opciones no compactas. Esto puede ser importante cuando se estudian economías con espacios de mercancías de dimensiones infinitas, en las que estar cerrado y acotado no implica compacidad. Una forma de lidiar con este problema es encontrar un conjunto compacto para que la correspondencia tenga un valor compacto y un valor no vacío cuando se restrinja a este conjunto. Existe una gran literatura muy técnica sobre "juegos generalizados" o "economías abstractas" (básicamente juegos de forma normal en los que los espacios de estrategia dependen de las acciones de otros), y a menudo implícitamente contienen generalizaciones no compactas del teorema de Berge. Si puede obtener el libro, consulte el capítulo 4 de Xian-Zhi Yuan 1999, KKM Theory and Applications in Nonlinear Analysis. Sin embargo, mi impresión es que estos resultados demostraron no ser tan útiles en aplicaciones económicas. Para demostrar la existencia de equilibrios walrasianos en modelos con espacios de mercancías de dimensiones infinitas, generalmente se utilizan métodos diferentes.