Encontrar la función de demanda dada una función de utilidad min (x, y)

Estoy confundido acerca de un punto particular con respecto a encontrar una función de demanda. Todos los problemas en este conjunto de prácticas que estoy haciendo han implicado la aplicación del método de multiplicadores lagrangianos. Pero no estoy seguro si se aplica aquí para este problema.

Configuración del problema

Considere un consumidor con la función de utilidad . Supongamos que se nos da riqueza w y precios p_x = 1, p_y = \ frac {1} {2} .$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Mi trabajo

No hay mucho que hacer todavía. Todo lo que hice fue establecer una restricción presupuestaria $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Mi confusión

Estaba listo para configurar una ecuación multiplicadora lagrangiana cuando de repente me di cuenta de que mi función de utilidad es una función $\min$ . Al principio, pensé que esta función no era diferenciable. Ahora, pienso que no es diferenciable pero es parcialmente diferenciable. Todavía no estoy seguro.

Mi conjetura

Sospecho que sí $\min$ es parcialmente diferenciable en función de este hilo

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Pero sospecho que mi respuesta necesitará un componente por partes o algo así.

Mi pregunta

¿Son aplicables los multiplicadores lagrangianos aquí? Si es así, ¿cómo defino el lagrangiano en términos por partes como creo que tendré que hacer? Si no es diferenciable, ¿cómo se deriva una función de demanda dada una función o a ?$\min$$\max$

No, no deberías usar multiplicadores de Lagrange aquí, sino un buen pensamiento. Supongamos que , digamos para concreción . Let . Entonces Entonces, el consumidor podría reducir su consumo del bien 2, sin estar peor. Por otro lado, para todos , tendríamos , para que el consumidor pueda ser mejor de reduciendo el consumo del segundo bien y gastando el dinero liberado en el primer bien. En un óptimo, un consumidor no puede mejorar, por lo que la optimización requiere . También está claro que los consumidores mejoran a lo largo de$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$Rayo 45 °. Por lo tanto, simplemente puede usar como condición de optimización para sustituirlo en su restricción presupuestaria y omitir los multiplicadores de Lagrange.$x=y$