El teorema de Weierstrass establece que cualquier secuencia limitada tiene una subsecuencia convergente.
Lo hice en mi curso de matemáticas y lo entendí completamente. Pero cuando estaba aprendiendo técnicas de optimización en economía, la definición del libro Sundaram se modificó ligeramente para que se adaptara a la comprensión de la optimización. Va así: (ver Figura 1)
Si lo lees, está diciendo exactamente lo que dijo el teorema original. La única diferencia es que, en lugar de comenzar con una secuencia limitada y llegar a la conclusión de que tendrá una subsecuencia convergente, comenzó con una subsecuencia convergente (asumiendo un conjunto compacto) y llegó a la conclusión de que debería estar limitada. Tiene sentido ¿verdad? Lo hizo también hasta que encontré un resultado en un conjunto compacto, indicado en el mismo libro. (Ver figura 2)
Esta redefinición del teorema lo convirtió en una definición circular: si un conjunto solo puede ser compacto si n solo si está limitado, al suponer Compacidad en la redefinición asumimos implícitamente la limitación.
Entonces, mi pregunta es por favor dime dónde me estoy equivocando. ¿He entendido la redefinición de forma incorrecta o he perdido el punto?
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Respuestas:
Lo que el libro llama el "Teorema de Weierstrass" se conoce más comúnmente como el Teorema del valor extremo , que establece que una función continua definida en un dominio compacto alcanza un máximo y un mínimo.
Una prueba común de este teorema implica el uso del teorema de Bolzano-Weierstrass , que aprendió en su curso de matemáticas y que dice que cada secuencia limitada tiene una subsecuencia convergente.
Por lo tanto, los dos teoremas son en realidad declaraciones diferentes, aunque relacionadas.
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