Demanda marshalliana de Cobb-Douglas

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Al intentar maximizar la utilidad que tiene una función de utilidad cobb-douglas , con , encontré las siguientes fórmulas ( Wikipedia: Demanda Marshalliana ):u=x1ax2ba+b=1

x1=amp1x2=bmp2

En uno de mis libros también encuentro estas fórmulas para el mismo propósito:

x1=aa+bmp1x2=ba+bmp2

Con : precios de los bienes; : presupuestopim

Los probé todos y produjeron los mismos resultados.
Entonces, ¿hay alguna diferencia?

usuario1170330
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Qué refieren a exclusivamente? aax1bx2
Jamzy
¿Puedes enderezar alguna notación? En el segundo ejemplo, ¿son a y b los exponentes en la función de utilidad x1 y x2? ¿Suman 1? ¿Es y en el primer problema lo mismo que m en el segundo?
BKay
@Jamzy: Sí, lo hace.
user1170330
@BKay: Por favor vea mis anotaciones actualizadas.
user1170330

Respuestas:

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Como las ecuaciones son exactamente iguales. Al sustituir a por en la tercera y cuarta ecuaciones, se obtienen la primera y la segunda ecuaciones.a+b=1a+b1

BKay
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¿Estas fórmulas también se pueden editar para que funcionen con una función de utilidad como ? Entonces, ¿con un número adicional antes de ? u=5x10.52x20.5xi
user1170330
Sugiero hacer esto como una nueva pregunta.
BKay
¿Qué pasa si ? ¿Debo usar las fórmulas 3 y 4 en este caso? a+b1
user1170330
@ user1170330 si todavía funcionaa+b1
Jamzy
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Así es como pasas de tu primera ecuación a tu segunda. su función de utilidad es ya que cambiaré ligeramente a (1-a) Para optimizar estas dos opciones, debe maximizar la utilidad , wrt sus variables de elección.u(x1,x2)=x1ax2ba+b=1

sujeto a usando la Ley Walras. Básicamente, para optimizar la utilidad, se gastará todo el dinero.p1x1+p2x2=w

Las funciones de Cobb-Douglas son típicamente difíciles para problemas de optimización. Se puede usar una transformación monotónica que conserva las propiedades ordinales de la función.

aln(x1)+(1a)ln(x2)

Esto se usará en su lugar. Se aplicará la misma restricción presupuestaria.

Las condiciones de Lagrange y de primer orden están a continuación

L=aln(x1)+(1a)ln(x2)λ(wp1x1p2x2)

δLδx1=ax1λp1=0

δLδx2=1ax2λp2=0

manipular las condiciones de primer orden da como resultado

λ=ax1p1

λ=(1a)x2p2

ax1p1=(1a)x2p2

sustituyendo en la restricción presupuestariap2x2=wp1x1

ax1p1=(1a)wp1x1

x1=wap1

y

p1x1=wp2x2

awp2x2=(1a)p2x2

w=a(1α)p2x2+p2x2

w(1a)=p2x2

x2=w(1a)p2

Con estos resultados, podemos calcular los paquetes de consumo óptimos de y para un precio dado, combinación de riqueza.x1x2

x1=wap1

x2=w(1a)p2

Jamzy
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