Resolver un problema de maximización por sustitución cuando la restricción está en forma implícita

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Estoy tratando de entender cómo se derivaron las condiciones de primer orden para una solución interior de un problema de maximización utilizando el sustitución método.

El problema es: $$ \ max \ limits_ {x \ ge0, y \ ge0} P (a-x) + (1-P) (b-y) $$ sujeto a $$ Pf (x) + (1-P) f (y) = c $$ donde: $ a, b, c & gt; 0 $, $ P \ in (0,1) $, $ f: [0, + \ infty] \ a [0, + \ infty] $, aumentando y estrictamente cóncavo sobre su dominio.

Puedo ver cómo esto se resuelve usando un lagrangiano para encontrar, desde las condiciones de primer orden, que $ f '(x ^ *) = f' (y ^ *) $. La concavidad estricta de $ f $ entonces implica $ x ^ * = y ^ * $. Pero no sé cómo podemos resolverlo sustituyendo la restricción en la función objetivo. Dado que $ f $ es invertible, si $ y $ no apareciera en la restricción, encontraría $ x $ en la restricción invirtiendo $ f $ y la sustituiría en la función objetivo. Hacer esto aquí lleva a complicaciones que parecen innecesarias para este simple problema. Tiene que haber una forma más simple que no pueda entender: ¿qué es? ¡Gracias!

jlol
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Respuestas:

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Aquí hay dos métodos. Primer método: la sustitución se puede hacer invirtiendo $ f $. Dado que $ f $ es estrictamente creciente y continua, $ f ^ {- 1} $ está bien definido. Por lo tanto, la restricción se puede escribir \ begin {equation *} x = f ^ {- 1} \ Big (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P} \ Big) \ end {ecuación *}

El objetivo se convierte en. \ begin {equation *} \ max_ {y \ geq 0} {P \ Big [af ^ {- 1} \ Big (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P} \ Big) \ Big] + (1- P) (por)} \ end {ecuación *}

El derivado de esta expresión con respecto a $ y $ es igual a \ begin {align *} &erio; (1-P) f '(y) (f ^ {- 1}) ^ {'} (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P}) - (1-P) \\ = & amp; (1-P) \ dfrac {f '(y)} {f ^ {'} \ circ f ^ {- 1} (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P})} - (1-P) \\ &erio; = (1-P) (\ dfrac {f '(y)} {f' (x)} - 1) \ end {align *} Y así, $ f '(y ^ {*}) = f' (x ^ {*}) $ en el óptimo.

Segundo método: dado que $ f $ es invertible, podemos hacer un cambio en las variables y definir $ w = f (x) $ y $ z = f (y) $. El problema entonces se convierte \ begin {equation *} \ max_ {w \ geq 0, z \ geq 0} {P (a-f ^ {- 1} (w)) + (1-P) (b-f ^ {- 1} (z))} \ end {ecuación *} sujeto a \ begin {equation *} P w + (1-P) z = c \ end {ecuación *} Sustituyendo $ w = (c- (1-P) z) / P $ en las entregas del problema \ begin {equation *} \ max_ {z \ geq 0} {P (af ^ {- 1} (\ dfrac {c- (1-P) z} {P}) + (1-P) (bf ^ {- 1} (z) )} \ end {ecuación *} La diferenciación con respecto a $ z $ produce la misma solución.

Oliv
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Esto fue de gran ayuda. Ahora entiendo, gracias!
jlol
@jlol mi placer, me alegra que haya sido útil.
Oliv
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Sea $ g $ la función inversa de $ f $ definida sobre el rango de $ f $. Note que $ g $ está aumentando y es estrictamente convexo. Podemos reescribir el problema de maximización como: \ begin {eqnarray *} \ max \ limits_ {u \ geq 0, \ v \ geq 0} & amp; P (a - g (u)) + (1-P) (b-g (v)) \\ \ text {s.t.} & Amp; Pu + (1-P) v = c \ end {eqnarray *} donde $ u = f (x) $ y $ v = f (y) $. Resolver arriba es equivalente a resolver \ begin {eqnarray *} \ min \ limits_ {u \ geq 0, \ v \ geq 0} & amp; Pg (u) + (1-P) g (v) \\ \ text {s.t.} & Amp; Pu + (1-P) v = c \ end {eqnarray *} Ahora puede sustituir $ v = \ displaystyle \ frac {c - Pu} {1-P} $ y reescribir el problema como: \ begin {eqnarray *} \ min \ limits_ {0 \ leq u \ leq \ frac {c} {P}} & amp; Pg (u) + (1-P) g \ left (\ frac {c - Pu} {1-P} \ right) \ end {eqnarray *} Al diferenciarnos con respecto a $ u $, obtenemos el FOC como:

$ \ displaystyle Pg '(u) - Pg' \ left (\ frac {c - Pu} {1-P} \ right) = 0 $

Dado que $ g $ es estrictamente convexo, la solución es: $ u = \ displaystyle \ frac {c - Pu} {1-P} $ es decir, $ u = v = c $. Por lo tanto, en el óptimo $ x = y $ se mantiene.

Amit
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Esta es una excelente respuesta. Muy útil, gracias!
jlol