Estoy tratando de entender cómo se derivaron las condiciones de primer orden para una solución interior de un problema de maximización utilizando el sustitución método.
El problema es: $$ \ max \ limits_ {x \ ge0, y \ ge0} P (a-x) + (1-P) (b-y) $$ sujeto a $$ Pf (x) + (1-P) f (y) = c $$ donde: $ a, b, c & gt; 0 $, $ P \ in (0,1) $, $ f: [0, + \ infty] \ a [0, + \ infty] $, aumentando y estrictamente cóncavo sobre su dominio.
Puedo ver cómo esto se resuelve usando un lagrangiano para encontrar, desde las condiciones de primer orden, que $ f '(x ^ *) = f' (y ^ *) $. La concavidad estricta de $ f $ entonces implica $ x ^ * = y ^ * $. Pero no sé cómo podemos resolverlo sustituyendo la restricción en la función objetivo. Dado que $ f $ es invertible, si $ y $ no apareciera en la restricción, encontraría $ x $ en la restricción invirtiendo $ f $ y la sustituiría en la función objetivo. Hacer esto aquí lleva a complicaciones que parecen innecesarias para este simple problema. Tiene que haber una forma más simple que no pueda entender: ¿qué es? ¡Gracias!
Sea $ g $ la función inversa de $ f $ definida sobre el rango de $ f $. Note que $ g $ está aumentando y es estrictamente convexo. Podemos reescribir el problema de maximización como: \ begin {eqnarray *} \ max \ limits_ {u \ geq 0, \ v \ geq 0} & amp; P (a - g (u)) + (1-P) (b-g (v)) \\ \ text {s.t.} & Amp; Pu + (1-P) v = c \ end {eqnarray *} donde $ u = f (x) $ y $ v = f (y) $. Resolver arriba es equivalente a resolver \ begin {eqnarray *} \ min \ limits_ {u \ geq 0, \ v \ geq 0} & amp; Pg (u) + (1-P) g (v) \\ \ text {s.t.} & Amp; Pu + (1-P) v = c \ end {eqnarray *} Ahora puede sustituir $ v = \ displaystyle \ frac {c - Pu} {1-P} $ y reescribir el problema como: \ begin {eqnarray *} \ min \ limits_ {0 \ leq u \ leq \ frac {c} {P}} & amp; Pg (u) + (1-P) g \ left (\ frac {c - Pu} {1-P} \ right) \ end {eqnarray *} Al diferenciarnos con respecto a $ u $, obtenemos el FOC como:
$ \ displaystyle Pg '(u) - Pg' \ left (\ frac {c - Pu} {1-P} \ right) = 0 $
Dado que $ g $ es estrictamente convexo, la solución es: $ u = \ displaystyle \ frac {c - Pu} {1-P} $ es decir, $ u = v = c $. Por lo tanto, en el óptimo $ x = y $ se mantiene.
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