Deje ser una relación de preferencia en . ¿Es cierto que si y solo si ?
Creo que es cierto y mi prueba es la siguiente. Probardirección, tenemos o . Entonces, si suponemos que , entonces es verdadero. Probardirección, suponga que es verdadero. Entonces, ya sea o . Si entonces hemos terminado. Si , entonces dado que es una relación de preferencia, debe estar completa, lo que implica .
¿Es correcta mi prueba? Además, en general, solo quiero preguntar, ¿es cierto que siempre que tengamos una relación de preferencia , en lugar de probar todos estos hechos, podemos pretender "informalmente" que es como la desigualdad , y todo funciona de manera análoga? Por ejemplo, podríamos probar que si y solo si o , pero si solo quisiéramos deducir este hecho sin demostrarlo, podemos verlo claramente desde si y solo si o .
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Respuestas:
Si definimos en como la primitiva, entonces la relación de preferencia estricta se deriva como⪰ X
Tenga en cuenta que puede ver esto como una definición de . Ahora demostramos iff not :≻ y⪰x x≻y
x ≻ y x ⪰ y y ⪰ x x ⪰ y y ⪰ x x ⪰ y y ⪰ x ⪰ y ⪰ x(⇐) Si no es , entonces solo hay tres posibilidades: (i) y ; (ii) no pero ; y (iii) ni ni . El caso (iii) puede descartarse si asumimos que la integridad de . Por lo tanto, tanto en (i) como en (ii), tenemos .x≻y x⪰y y⪰x x⪰y y⪰x x⪰y y⪰x ⪰ y⪰x
Vale la pena mencionar que Kreps (1990) presenta otro enfoque para definir las relaciones de preferencia en . Toma como primitivo y luego deriva la relación de preferencia débil como: ≻ x ⪰ y ⇔ no y ≻ x .X ≻
En este caso, no hay necesidad de probar la equivalencia ya que es una definición.
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