Propiedades de la relación de preferencia

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Deje ser una relación de preferencia en X . ¿Es cierto que xy si y solo si ¬(yx) ?

Creo que es cierto y mi prueba es la siguiente. Probardirección, tenemos ¬(yx)¬(yx) o xy . Entonces, si suponemos que xy , entonces ¬(yx) es verdadero. Probardirección, suponga que ¬(yx) es verdadero. Entonces, ya sea ¬(yx) o xy . Si xy entonces hemos terminado. Si ¬(yx) , entonces dado que es una relación de preferencia, debe estar completa, lo que implica xy .

¿Es correcta mi prueba? Además, en general, solo quiero preguntar, ¿es cierto que siempre que tengamos una relación de preferencia , en lugar de probar todos estos hechos, podemos pretender "informalmente" que es como la desigualdad , y todo funciona de manera análoga? Por ejemplo, podríamos probar que ¬(xy) si y solo si xy o yx , pero si solo quisiéramos deducir este hecho sin demostrarlo, podemos verlo claramente desde ¬(x=y) si y solo si x>y oy>x .

usuario40333
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Bienvenido a Econ.SE. Tengo la sensación de que esto es un duplicado. Aquellos con más experiencia en estas preguntas podrían encontrar uno. No estoy muy familiarizado con el tema. Tal vez este ?
luchonacho
¬(yx)¬(yx)xy¬(yx)¬(yx)
x
@KitsuneCavalry: En cuanto al punto que planteaste, creo que OP lo entendió correctamente. Estrictamente preferencia se define como ; entonces la negación es exactamente lo que OP escribió . yxyx and ¬(xy)¬(yx)¬(yx) or xy
Herr K.

Respuestas:

2

Si definimos en como la primitiva, entonces la relación de preferencia estricta se deriva como X

xy  xy  but not  yx.

Tenga en cuenta que puede ver esto como una definición de . Ahora demostramos iff not :yxxy

() Si , por definición, no es cierto;yxxy

x y x y y x x y y x x y y x y x() Si no es , entonces solo hay tres posibilidades: (i) y ; (ii) no pero ; y (iii) ni ni . El caso (iii) puede descartarse si asumimos que la integridad de . Por lo tanto, tanto en (i) como en (ii), tenemos .xyxyyxxyyxxyyxyx

Vale la pena mencionar que Kreps (1990) presenta otro enfoque para definir las relaciones de preferencia en . Toma como primitivo y luego deriva la relación de preferencia débil como: x y no  y x .X

xy  not  yx.

En este caso, no hay necesidad de probar la equivalencia ya que es una definición.

Ziwei Wang
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