¿Cómo calculo el diámetro de un plato a partir del número de dientes?

Simplemente conociendo el número de dientes en un plato, ¿podemos determinar un diámetro preciso?

chainring framebuilding Orejas de perro
fuente

Básicamente, hay 3 círculos con diferentes diámetros (puntas de dientes, base o donde se encuentra la cadena), ¿cuál quieres? ¿Para qué necesitas el diámetro?

Freiheit

respuestas encantadoras aquí, pero ¿no es el diámetro el doble del radio de un círculo?

jackJoe

@jackJoe sí, pero eso no es útil porque tampoco conoces el radio.

Freiheit

@JackJoe: lo es. Pero no tenemos ninguna información además del número de dientes, según el OP.

zenbike

Orejas de perro: mire la pregunta en Math.Stackexchange.com. Es un examen mucho más complejo y más completo del tema. En cuanto a esta página, le sugiero que elija la respuesta de @Lantius. El mío es bueno y práctico para la mayoría de los propósitos. Estará dentro del alcance del error de las herramientas de medición comunes. No es perfectamente exacto, y la respuesta de Lantius es mejor.

zenbike

Respuestas:

Un plato es un polígono regular de n lados donde n es el número de dientes. La longitud lateral s del polígono es la distancia de punta a punta de cada diente de plato.

La fórmula para el radio de un polígono regular es:

_{(fuente: mathopenref.com )}

Usando 12.75 mm de zenbike arriba para s , obtenemos 107.61 para el radio, o 215.22 mm para el diámetro, que está muy cerca de su aproximación.

La comparación de las dos fórmulas muestra que el término de longitud, como se esperaba, puede eliminarse. Esto nos deja con:

1 / sin ( pi / n ) frente a n / pi

Para n grande , esos términos convergen, introduciendo un error de solo .12 mm cuando n = 53. Es un poco más grande a medida que n se hace más pequeño, difiriendo en 0,64 mm para n = 11.

Para todos los fines prácticos, solo usaría s * n / pi , incluso para el engranaje más pequeño que encuentre, estará dentro de un milímetro.

lantius
fuente

Estoy interesado en las matemáticas aquí. ¿Puede explicar (para aquellos de nosotros con menos tiempo en una clase de matemáticas) lo que representa cada variable? Creo que te estoy siguiendo, pero no estoy seguro. La fórmula s * n / pi es la misma que estoy haciendo, ¿correcto? ¿De dónde viene la inexactitud para un número menor de lados? (Suponiendo que te estoy siguiendo y que tengo las variables correctas)

Zenbike

¿Es la línea recta entre los dientes, en lugar de un arco descrito?

zenbike

Es una linea recta. Por ejemplo, si tuviera un plato increíblemente pequeño con ocho dientes (vértices), podría trazar un octágono de aspecto limpio a su alrededor. Como supusiste, al medir la distancia en línea recta a lo largo de los bordes de ese octágono y multiplicar se pierde la distancia extra que un arco trazaría entre esos puntos, por lo que tu circunferencia total es un poco corta. A medida que sus puntos se acercan, la diferencia se hace más pequeña: un polígono con un millón de lados pequeños será casi indistinguible de un círculo.

lantius

Eso es lo que figuraba. Gracias por la aclaración. Entonces, ¿cómo se adapta al arco faltante en la medición?

zenbike

La misma matemática en un formato un poco más fácil de digerir es la función crd (theta) en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) : relaciona la longitud del acorde (el tono de la cadena en este caso) con el radio y el ángulo. Adaptado aquí, 12.7 mm = r crd (360 / n) = 2 * r * sin (180 / n); por lo tanto r = 6.35 / sin (180 / n) mm. Necesitamos TeX por aquí.

Ehryk

Si solo conoce el paso de la cadena (estándar para la mayoría de las bicicletas) y la cantidad de dientes, entonces puede describir completamente el círculo (y n-gon) solo a través de los centros de los pasadores . Haré mi mejor esfuerzo para hacer las fórmulas matemáticas de una manera legible con texto, pero describiré completamente cada uno de los cuatro círculos / n-gons:

Círculos de plato

Dejar:

n = número de dientes

L = paso de cadena (longitud del enlace) (12.7 mm para la mayoría de las bicicletas)

Vea a continuación las medidas del valle, la parte superior del rodillo y la parte superior del diente. Tenga en cuenta que las tapas de los dientes pueden variar entre los fabricantes y se variará a lo largo de la vida del anillo. El método alternativo en la parte inferior es probablemente el método más fácil de usar para la separación del marco.

Como conoce el paso de la cadena (1/2 "o 12.7 mm es una cadena de la serie 40 que se usa típicamente en una bicicleta), los pasadores de la cadena formarán un n-gon regular (un polígono con n lados de igual longitud) , con cada lado igual a 12.7 mm. La fórmula para el perímetro de este n-gon es bastante simple (abajo) y estaría bien para la mayoría de las aproximaciones. Tenga en cuenta que esto también es igual a la longitud de la cadena que se envolvería alrededor del anillo (la cadena seguiría el n-gon, no el círculo).

Perímetro de n-gon hecho por centros de pin

Perímetro de n-gon = L * n = 12.7 * n mm

Sin embargo, esto no es del todo exacto para describir el círculo a través de los centros de los pasadores. Las fórmulas más precisas están a continuación:

Circula a través de los centros de clavijas

circunferencia = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

radio = L / (2 sin (180 / n)) = 6.35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (radio central del pasador)

diámetro = L / sin (180 / n) = 12.7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (diámetro central del pasador)

Ahora, necesitaremos información adicional para describir los dos círculos / n-gons relacionados:

Para los pisos del valle y las tapas de los rodillos, necesitamos conocer el radio o el diámetro de la cadena de rodillos alrededor del pasador. De acuerdo con http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , una cadena de la serie 40 tiene un diámetro de rodillo de 0.312 "(7.92 mm). Dado que la distancia desde el centro del pasador hasta el fondo del valle es el radio de el rodillo:

Círculo / n-gon sobre los pisos del valle

rRad = radio del rodillo (3.96 mm para la mayoría de las bicicletas)

Perímetro de n-gon de los pisos del valle = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3.96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3.96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7.92 mm

Círculo / n-gon de la parte superior de los rodillos de la cadena.

Perímetro de n-gon de rodillos superiores = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3.96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) mm

Ahora, para que se describa el círculo final / n-gon, necesitamos la altura del diente por encima de los centros de los pasadores. Esperaría que esto sea positivo en un nuevo anillo de cadena y negativo en uno desgastado:

Círculo / n-gon de las puntas de los dientes

t = altura de la punta del diente por encima de los centros del pasador (negativo si está por debajo)

Perímetro de n-gon de puntas de dientes = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternativamente, para hacer este cálculo un poco más fácil (aunque un poco menos preciso en un anillo de cadena desgastado), puede medir su propio espacio entre dientes. Idealmente, serían un poco más largos que el paso de la cadena, pero eso cambiará a medida que la cadena se desgaste:

Círculo / n-gon de las puntas de los dientes: alternativo

tSpacing = distancia promedio entre las puntas de los dientes

Perímetro de n-gon de puntas de dientes = n * t

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

Ehryk
fuente

Una pequeña corrección a las fórmulas de Ehryk relacionadas con los suelos y las puntas de los valles. Según [1], una cadena de la serie 40 tiene un diámetro de rodillo de 7,77 mm (0,306 pulgadas). Ehryk's es para una cadena de la serie 41. [1]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain

EDITAR:

Me envió esta pregunta en math.se , y dieron una respuesta interesante , que básicamente confirma respuesta lantius' como el modelo matemático más preciso, y la mía como una aproximación práctica para el mundo de la bicicleta.

Con solo el número de dientes, no.

Pero dada la cantidad de dientes y el espacio requerido de punta a punta de cada diente para que coincida con la cadena de la marca de anillo de cadena utilizada, puede determinar fácilmente la circunferencia.

Con la circunferencia, es simple matemática determinar el diámetro.

Divida el diámetro por Pi (3.14159 al quinto decimal)

C = D / 3.14159

Entonces, si el número de dientes es 53, y el espacio es de 12.75 mm, tenemos una circunferencia de 675.75 milímetros.

675.75 milímetros dividido por 3.14159 da un diámetro de 215.1 milímetros. Convertido y redondeado a 2 lugares, mide 8.46 pulgadas.

He medido el diámetro de un anillo de cadena Shimano de 53 dientes, y es de 8.51 pulgadas. Así que creo que mis matemáticas deberían ser tan precisas como las tolerancias en mis mediciones.

Diagrama de fórmula y método.

zenbike
fuente

Por supuesto, con un plato tiene la pregunta de cuál es "el diámetro": ¿cómo lo mide? Cuando se calcula a partir de la fórmula anterior, debe obtener el diámetro del círculo de la cadena, básicamente el círculo que describen los pasadores de la cadena, no el diámetro más interno o más externo.

Daniel R Hicks

En realidad, este número se basa en la medición con un calibrador a vernier de la punta del diente a la punta del diente. Es la circunferencia descrita por un círculo colocado para tocar la punta de cada diente. Y asumí el diámetro exterior, ya que eso es lo que importaría para la construcción de marcos.

Zenbike

Y espero que no sea elíptico :-)

Karl

Sí, ahora que lo pienso, una cadena debería estar ligeramente suelta en un plato: una forma de verificar (groseramente) el estiramiento de la cadena es tirar del eslabón más delantero y ver cuánto da, debería ser Espesor de media cadena. Pero aún así no estaría (al menos en teoría) calculando el diámetro más externo con su fórmula.

Daniel R Hicks

@Daniel R Hicks: ¿Cómo es eso? De hecho, funciona, como hice los cálculos, y lo comparé con un anillo de cadena física, y coincide. ¿No estoy describiendo el proceso lo suficientemente bien, tal vez?

zenbike