Explicación intuitiva de la periodicidad en las cadenas de Markov.

¿Alguien puede explicarme de manera intuitiva cuál es la periodicidad de una cadena de Markov?

Se define de la siguiente manera:

Para todos los estados $i$ en $S$

$d_i$ = mcd$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

¡Gracias por tu esfuerzo!

En primer lugar, su definición no es del todo correcta. Aquí está la definición correcta de wikipedia, como lo sugiere Cyan.

Periodicidad (fuente: wikipedia )

Un estado i tiene un período k si algún retorno al estado debe ocurrir en múltiplos de k pasos de tiempo. Formalmente, el período de un estado se define como

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(donde "mcd" es el máximo divisor común). Tenga en cuenta que aunque un estado tenga un período k, puede que no sea posible alcanzar el estado en k pasos. Por ejemplo, supongamos que es posible volver al estado en {6, 8, 10, 12, ...} pasos de tiempo; k sería 2, aunque 2 no aparece en esta lista.

Si k = 1, entonces se dice que el estado es aperiódico: el retorno al estado i puede ocurrir en momentos irregulares. En otras palabras, un estado i es aperiódico si existe n tal que para todo n '≥ n,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

De lo contrario (k> 1), se dice que el estado es periódico con el período k. Una cadena de Markov es aperiódica si cada estado es aperiódico.

Mi explicación

El término periodicidad describe si algo (un evento, o aquí: la visita de un estado particular) está sucediendo en un intervalo de tiempo regular. Aquí el tiempo se mide en la cantidad de estados que visita.

Primer ejemplo:

Ahora imagine que el reloj representa una cadena de Markov y cada hora marca un estado, por lo que tenemos 12 estados. La manecilla de la hora visita cada estado cada 12 horas (estados) con probabilidad = 1, por lo que el máximo común divisor también es 12.

Entonces cada estado (hora) es periódico con el período 12.

Segundo ejemplo

Imagínese un gráfico que describe una secuencia de lanzamientos de monedas, a partir de estado y estado h e un d s y t un i l s que representa el resultado de la última sacudida de la moneda.$start$$heads$$tails$

La probabilidad de transición es 0.5 para cada par de estados (i, j), excepto -> s t a r t y t a i l s -> s t a r t donde es 0.$heads$$start$$tails$$start$

$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd