Procesos gaussianos de dominio wavelet: ¿cuál es la covarianza?

He estado leyendo Maraun et al. , "Procesos gaussianos no estacionarios en el dominio wavelet: síntesis, estimación y pruebas significativas" (2007) que define una clase de GP no estacionarias que pueden especificarse mediante multiplicadores en el dominio wavelet. La realización de uno de estos GP es: Donde es ruido blanco, es la transformada wavelet continua con respecto a wavelet , es el multiplicador (un poco como un coeficiente de Fourier) con la escala de y el tiempo , y es la wavelet inversa se transforma con wavelet de reconstrucción .

s (t) = {METRO}_{h} metro (si, una) W_{sol} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Un resultado clave del trabajo es que si los multiplicadores solo cambian lentamente, entonces la realización en sí misma depende "débilmente" de las elecciones reales de y . Por lo tanto, especifica el proceso. Continúan creando algunas pruebas significativas para ayudar a inferir los multiplicadores wavelet basados en realizaciones. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Dos preguntas:

1. ¿Cómo evaluamos la probabilidad de GP estándar que es ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Supongo que efectivamente estamos haciendo un cambio de coordenadas, de modo que donde son las wavelets y es la matriz (¿diagonal?) De los coeficientes wavelet . Sin embargo, usan un CWT no ortonormal, así que no sé si esto es correcto. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. ¿Cómo se puede relacionar este GP de dominio wavelet con un GP de espacio real ? Específicamente, ¿podemos calcular un kernel de espacio real (no estacionario) a partir de ? $k$ $m(a,b)$

A modo de comparación, el núcleo de un proceso gaussiano estacionario es el dual de Fourier de su densidad espectral (teorema de Bochner, véase el capítulo 4 de Rasmussen), que ofrece una manera fácil de cambiar entre un GP de espacio real y uno de frecuencia espacial. Aquí estoy preguntando si existe tal relación en el dominio wavelet.

normal-distribution stochastic-processes gaussian-process fourier-transform wavelet cgreen
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Haz alcanzado algo con esto. No estoy seguro de que el cambio de variables sea correcto, ya que eso contradeciría cuando digan

se llama núcleo de reproducción ?

K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

tdc

Respuestas:

El proceso de conducción, ruido blanco η (t), es independiente de la elección de la base. En un CWT (a diferencia del salto DWT en octavas) hay algo de redundancia, las bandas de onda estrechas se superponen. La "característica" que se está probando para determinar su importancia es una variación (potencia) observada en una frecuencia estrecha durante un corto período de tiempo. Esto claramente depende matemáticamente de la wavelet elegida, pero no mucho: un ancho de banda más estrecho puede detectar características que cambian más lentamente con una mayor sensibilidad, un ancho de banda más amplio responde mejor pero tiene un fondo más ruidoso y es menos específico.

Como esto mide el espacio wavelet que está integrado a lo largo de la duración de wavelet, la transformación que ha escrito sería para cualquier "punto en el tiempo". Generalmente uno necesita información de fase para invertir el CWT. La prueba de Maraun es esencialmente Chi-cuadrado en poder.
No. Maraun depende de la señal al ruido en una banda de frecuencia en un rango de tiempo, esto podría tener muchas realizaciones diferentes en el espacio de ruido y es independiente de la fase. Es sensible a una señal AR (1) en el dominio wavelet a una frecuencia específica, es decir, la oscilación sostenida en el tiempo, por ejemplo, el dominio CWT tenderá a suprimir un pico aislado en el ruido de banda ancha.

James Prichard
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