Paseo aleatorio con impulso

Considere una caminata aleatoria entera que comienza en 0 con las siguientes condiciones:

• El primer paso es más o menos 1, con igual probabilidad.

• Cada paso futuro es: 60% de probabilidades de estar en la misma dirección que el paso anterior, 40% de probabilidades de estar en la dirección opuesta

¿Qué tipo de distribución produce esto?

Sé que una caminata aleatoria sin impulso produce una distribución normal. ¿El impulso solo cambia la varianza, o cambia la naturaleza de la distribución por completo?

Estoy buscando una respuesta genérica, por lo que en un 60% y 40% arriba, realmente me refiero a p y 1-p

Para llegar inmediatamente a la conclusión, el "impulso" no cambia el hecho de que la distribución normal es una aproximación asintótica de la distribución de la caminata aleatoria, pero la varianza cambia de a n p / ( 1 - p ) . Esto puede derivarse de consideraciones relativamente elementales en este caso especial. No es muy difícil generalizar los argumentos a continuación a un CLT para cadenas de Markov de espacio de estado finito, por ejemplo, pero el mayor problema es en realidad el cálculo de la varianza. Para el problema particular puede$4np(1-p)$$np/(1-p)$se calcula y, con suerte, los argumentos a continuación pueden convencer al lector de que es la variación correcta.

Utilizando la información que Cardinal proporciona en un comentario, la caminata aleatoria se da como donde X k ∈ { - 1 , 1 } y las X k forman una cadena de Markov con matriz de probabilidad de transición ( p 1 - p 1 - p p ) . Para consideraciones asintóticas cuando n → ∞ la distribución inicial de X 1 no juega ningún papel, entonces arreglemos

$$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$$ $X_k \in \{-1, 1\}$$X_k$ $$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$$ $n \to \infty$$X_1$ en aras del siguiente argumento, y supongamos también que 0 < p < 1 . Una técnica ingeniosa es descomponer la cadena de Markov en ciclos independientes. Supongamos que σ 1 denota la primera vez, después del tiempo 1, que la cadena de Markov vuelve a 1. Es decir, si X 2 = 1 entonces σ 1 = 2 , y si X 2 = X 3 = - 1 y X 4 = 1 entonces σ 1 = $X_1 = 1$$0 < p < 1$$\sigma_1$$X_2 = 1$$\sigma_1 = 2$$X_2 = X_3 = -1$$X_4 = 1$$\sigma_1 = 4$. En general, supongamos que denota el i -ésimo tiempo de retorno a 1 y que τ i = σ i - σ i - 1 denota los tiempos de retorno (con σ 0 = 1 ). Con estas definiciones, tenemos$\sigma_i$$i$$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$$\sigma_0 = 1$

• Con entonces S σ n = X 1 + n ∑ i = 1 U i$U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $$S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$$
• Dado que toma el valor - 1 para k = σ i - 1 + 1 , … , σ i - 1 y X σ i = 1 mantiene que U i = 2 - τ i$X_k$$-1$$k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$$X_{\sigma_i} = 1$ $$U_i = 2 - \tau_i.$$
• Los tiempos entre retornos, , para una cadena de Markov son iid (formalmente debido a la fuerte propiedad de Markov) y en este caso con la media E ( τ i ) = 2 y la varianza V ( τ i ) = 2 $\tau_i$$E(\tau_i) = 2$ . A continuación se indica cómo calcular la media y la varianza.$V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
• El CLT ordinario para las variables iid produce que $$S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$$
• La última cosa a tener en cuenta, que requiere un pequeño salto de fe, porque omito los detalles, es que , lo que produce que S n asymp ∼ N ( 0 , n $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $$S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$$

$\tau_1$$P(\tau_1 = 1) = p$$m \geq 2$$P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$$X$$1-p$$Z = 1(\tau_1 = 1)$$1 + X(1-Z)$$\tau_1$

Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelation $\rho$. Translating this using $\rho = 2p - 1$ da

$$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$$ where $n \bar{x}$ is the position of the random walk after $n$ steps, and $s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in $n$, $\sqrt{1 - \bar{x}^2}$. The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of $n \bar{x}$ should be around $\sqrt{n p/(1-p)}$.

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)