Un proceso estocástico es un proceso que evoluciona con el tiempo, entonces, ¿es realmente una forma más elegante de decir "series temporales"?

Debido a que aparecen muchas discrepancias problemáticas en los comentarios y respuestas, consultemos a algunas autoridades.

James Hamilton ni siquiera define una serie temporal, pero tiene claro cuál es:

... este conjunto de números es solo un posible resultado del proceso estocástico subyacente que generó los datos. De hecho, incluso si imaginamos haber observado el proceso durante un período de tiempo infinito, llegando a la secuencia la secuencia infinita haría aún debe verse como una realización única de un proceso de series de tiempo. ...{ y t } ∞ t = ∞ = { … , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , … , y T , $T${ y t } ∞ t =

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Imagine una batería de ... computadoras generando secuencias , y considere seleccionar la observación asociada con la fecha de cada secuencia: Esto se describiría como una muestra de las realizaciones de la variable aleatoria . ...{ y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , … , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ t { y ( 1 ) t , y ( 2 ) t , ... , y ( I $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$IY

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Análisis de series de tiempo , Capítulo 3.)

Por lo tanto, un "proceso de series de tiempo" es un conjunto de variables aleatorias indexadas por enteros .$\{Y_t\}$$t$

En Ecuaciones diferenciales estocásticas, Bernt Øksendal proporciona una definición matemática estándar de un proceso estocástico general:

Definición 2.1.4. Un proceso estocástico es una colección parametrizada de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad y asumiendo valores en . ( Ω , F , P ) R

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

El espacio de parámetros suele ser (como en este libro) la media línea , pero también puede ser un intervalo , los enteros no negativos e incluso subconjuntos de para .[ 0 , ∞ ) [ a , b ] R n n ≥ $T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Al poner los dos juntos, vemos que un proceso de series de tiempo es un proceso estocástico indexado por enteros.

Algunas personas usan "series de tiempo" para referirse a la realización de un proceso de series de tiempo (como en el artículo de Wikipedia ). Podemos ver en el lenguaje de Hamilton un esfuerzo razonable para distinguir el proceso de la realización por su uso del "proceso de series de tiempo", para que pueda usar "series de tiempo" para referirse a realizaciones (o incluso datos).

$\left\{X_t\right\}$

Definiendo un proceso estocástico

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Definiendo una serie de tiempo

Mientras que un proceso estocástico tiene una definición matemática cristalina. Una serie de tiempo es una noción menos precisa, y las personas usan series de tiempo para referirse a dos objetos relacionados pero diferentes:

1. Como describe WHuber, un proceso estocástico indexado por enteros o alguna unidad de tiempo incremental regular que puede, en cierto sentido, mapearse a enteros (por ejemplo, datos mensuales).
2. Una recopilación de datos observados a intervalos regulares. Esto podría ser la realización de un proceso estocástico indexado por enteros. A veces esto se conoce como datos de series de tiempo.

Ejemplo: dos vueltas de una tachuela

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

La diferencia entre un proceso estocástico y una serie temporal es algo así como la diferencia entre un gato en un teclado y una respuesta en Stack Exchange: los gatos en los teclados pueden producir respuestas, pero los gatos en los teclados no son respuestas. Además, no todas las respuestas son producidas por un gato en un teclado.

Una serie temporal puede entenderse como una colección de pares de tiempo-valor-punto de datos. Por otro lado, un proceso estocástico es un modelo matemático o una descripción matemática de una distribución de series de tiempo¹. Algunas series de tiempo son una realización de procesos estocásticos (de cualquier tipo). O, desde otro punto de vista: puedo usar un proceso estocástico como modelo para generar una serie temporal.

Además, las series de tiempo también se pueden generar de otras maneras:

• Pueden ser el resultado de observaciones y por lo tanto son generados por la realidad. Si bien puedo modelar la realidad como un proceso estocástico (también podría decir que considero la realidad como un proceso estocástico), la realidad no es un proceso estocástico de la misma manera que el interior de una caja no es un conjunto de puntos (aunque a menudo considerar los dos equivalentes en contextos de modelado).

• $x=2$

^{¹ Si es un proceso estocástico de tiempo discreto. Los procesos estocásticos de tiempo continuo son distribuciones de funciones en lugar de series de tiempo.}

Agradezco todas las discusiones / comentarios aportados sobre el tema de las series temporales vs el proceso estocástico. Aquí entiendo la diferencia: las series de tiempo son un fenómeno observado, registrado como una serie de números que se indexa con el tiempo de observación; Es muy probable que se trate de una serie de observaciones de un fenómeno de la vida real, como los precios de las acciones en la Bolsa de Nueva York. Por otro lado, el proceso estocástico se entiende siempre como una representación matemática (no una producción) de la serie temporal.