¿Es una serie de tiempo lo mismo que un proceso estocástico?

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Un proceso estocástico es un proceso que evoluciona con el tiempo, entonces, ¿es realmente una forma más elegante de decir "series temporales"?

Víctor
fuente
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Una serie de tiempo es un proceso estocástico con un soporte de observación de tiempo discreto. Se puede observar un proceso estocástico en tiempo continuo. (También puede ser que las series estén más relacionadas con observaciones y procesos estocásticos con el objeto aleatorio detrás).
Xi'an
La "serie" implica una naturaleza discreta o finita en oposición a la naturaleza potencialmente continua del "proceso".
Aksakal
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Un proceso estocástico no necesita evolucionar con el tiempo; Podría ser estacionario. En mi opinión, la diferencia entre el proceso estocástico y las series temporales es de punto de vista. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias, mientras que una serie de tiempo es una colección de números, o una ruta de realización o muestra de un proceso estocástico. Con suposiciones adicionales sobre el proceso, podríamos desear usar el histograma de valores de números de la serie temporal como una estimación de la densidad común (o función de masa) de todas las variables aleatorias que comprenden el proceso, etc.
Dilip Sarwate
2
@DilipSarwate, las series de tiempo pueden ser estacionarias o no.
Aksakal
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@ Aksakal Ruego diferir. Suponga que el estadístico ha observado las series temporales de longitud finita ¿Es esta una serie estacionaria? ¿Cómo puedes saber que es (o no es)? A menos que tengamos disponibles varias series de tiempo (para los mismos instantes de tiempo) a partir de las cuales podríamos hacer inferencias sobre el proceso estocástico ("Gee, los histogramas de valores asumidos por son prácticamente los mismos independientemente de la elección de ") . ¿Pero una sola secuencia de números? No se puede decir si la serie es estacionaria o no, pero se podría suponer el modelo de proceso estocástico subyacente
1,0 0,-1,0 0,1,0 0,-1
nXnortenorte
Dilip Sarwate,

Respuestas:

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Debido a que aparecen muchas discrepancias problemáticas en los comentarios y respuestas, consultemos a algunas autoridades.

James Hamilton ni siquiera define una serie temporal, pero tiene claro cuál es:

... este conjunto de números es solo un posible resultado del proceso estocástico subyacente que generó los datos. De hecho, incluso si imaginamos haber observado el proceso durante un período de tiempo infinito, llegando a la secuencia la secuencia infinita haría aún debe verse como una realización única de un proceso de series de tiempo. ...{ y t } t = = { , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , , y T , yT{ y t } t =

{yt}t=={...,y-1,y0 0,y1,y2,...,yT,yT+1,yT+2,...,},
{yt}t=

Imagine una batería de ... computadoras generando secuencias , y considere seleccionar la observación asociada con la fecha de cada secuencia: Esto se describiría como una muestra de las realizaciones de la variable aleatoria . ...{ y ( 1 ) t } t = - , { y ( 2 ) t } t = - , , { y ( I ) t } t = - t { y ( 1 ) t , y ( 2 ) t , ... , y ( I )yo{yt(1)}t=-, {yt(2)}t=-,..., {yt(yo)}t=-tIYt

{yt(1),yt(2),...,yt(yo)}.
yoYt

( Análisis de series de tiempo , Capítulo 3.)

Por lo tanto, un "proceso de series de tiempo" es un conjunto de variables aleatorias indexadas por enteros .t{Yt}t

En Ecuaciones diferenciales estocásticas, Bernt Øksendal proporciona una definición matemática estándar de un proceso estocástico general:

Definición 2.1.4. Un proceso estocástico es una colección parametrizada de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad y asumiendo valores en . ( Ω , F , P ) R n

{Xt}tT
(Ω,F,PAGS) Rnorte

El espacio de parámetros suele ser (como en este libro) la media línea , pero también puede ser un intervalo , los enteros no negativos e incluso subconjuntos de para .[ 0 , ) [ a , b ] R n n 1T[0 0,)[una,si]Rnortenorte1

Al poner los dos juntos, vemos que un proceso de series de tiempo es un proceso estocástico indexado por enteros.

Algunas personas usan "series de tiempo" para referirse a la realización de un proceso de series de tiempo (como en el artículo de Wikipedia ). Podemos ver en el lenguaje de Hamilton un esfuerzo razonable para distinguir el proceso de la realización por su uso del "proceso de series de tiempo", para que pueda usar "series de tiempo" para referirse a realizaciones (o incluso datos).

whuber
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(+1) Creo que el último párrafo es particularmente importante (aunque sutil). Sin embargo, quería agregar que a veces se ve la idea de una "serie temporal continua". Ocasionalmente, la frase se usa simplemente para indicar que la variable en sí misma es continua, en lugar de discreta, pero también he visto que se usa para indicar que el tiempo se está muestreando continuamente , por lo que "indexado por enteros" puede no ser una definición universalmente aceptada. Ver, por ejemplo , aquí , dentro de Series temporales: teoría y métodos de Brockwell & Davis.
Silverfish
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@Silverfish Agradezco esos comentarios. Sin embargo, en última instancia, los encuentro poco convincentes por la simple razón de que la "serie" se usa universalmente en matemáticas para referirse a una función con un dominio contable . "Muestreo continuo" no puede incluirse dentro de ese concepto. No cuestiono sus observaciones de que algunos autores pueden haberse referido a los procesos estocásticos de tiempo continuo como "series". Solo digo que si este es el caso, están abusando de una terminología bien establecida.
whuber
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Creo que hay un grado de debate de "descripción versus prescripción" en esto. La idea de una "serie de tiempo continua" es definitivamente un uso minoritario (me pregunto si esto depende del campo, mi comprensión limitada es que las personas de procesamiento de señales generalmente se refieren a una "señal de tiempo continua" en lugar de una "serie") y personalmente yo Me inclino a aceptar que la palabra "serie" lógicamente es más coherente con el muestreo discreto. Solo quería señalar que el uso minoritario no es desconocido, incluso entre los expertos, lo que puede explicar parte de la confusión generada.
Silverfish
@Silverfish, por lo tanto, para esta minoría que también considera series temporales continuas, ¿el proceso estocástico es igual a series temporales?
Código Papa
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{Xt}

Mwandri
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1

Definiendo un proceso estocástico

(Ω,F,PAGS)SR

  • ΩS
  • t
    • tTXt
    • ωΩX(ω)X

Definiendo una serie de tiempo

Mientras que un proceso estocástico tiene una definición matemática cristalina. Una serie de tiempo es una noción menos precisa, y las personas usan series de tiempo para referirse a dos objetos relacionados pero diferentes:

  1. Como describe WHuber, un proceso estocástico indexado por enteros o alguna unidad de tiempo incremental regular que puede, en cierto sentido, mapearse a enteros (por ejemplo, datos mensuales).
  2. Una recopilación de datos observados a intervalos regulares. Esto podría ser la realización de un proceso estocástico indexado por enteros. A veces esto se conoce como datos de series de tiempo.

Ejemplo: dos vueltas de una tachuela

Ω={ωHH,ωHT,ωTH,ωTT}X1,X2

X1(ω)={1:ω{ωHH,ωHT}0 0:ω{ωTH,ωTT}

X2(ω)={1:ω{ωHH,ωTH}0 0:ω{ωHT,ωTT}

{X1,X2}XX(ωHH)=(H,H)

Matthew Gunn
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La diferencia entre un proceso estocástico y una serie temporal es algo así como la diferencia entre un gato en un teclado y una respuesta en Stack Exchange: los gatos en los teclados pueden producir respuestas, pero los gatos en los teclados no son respuestas. Además, no todas las respuestas son producidas por un gato en un teclado.

Una serie temporal puede entenderse como una colección de pares de tiempo-valor-punto de datos. Por otro lado, un proceso estocástico es un modelo matemático o una descripción matemática de una distribución de series de tiempo¹. Algunas series de tiempo son una realización de procesos estocásticos (de cualquier tipo). O, desde otro punto de vista: puedo usar un proceso estocástico como modelo para generar una serie temporal.

Además, las series de tiempo también se pueden generar de otras maneras:

  • Pueden ser el resultado de observaciones y por lo tanto son generados por la realidad. Si bien puedo modelar la realidad como un proceso estocástico (también podría decir que considero la realidad como un proceso estocástico), la realidad no es un proceso estocástico de la misma manera que el interior de una caja no es un conjunto de puntos (aunque a menudo considerar los dos equivalentes en contextos de modelado).

  • X=2


¹ Si es un proceso estocástico de tiempo discreto. Los procesos estocásticos de tiempo continuo son distribuciones de funciones en lugar de series de tiempo.

Wrzlprmft
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No está claro si está haciendo una distinción entre un modelo y un conjunto de datos o si está tratando de hacer algún otro punto. Tampoco está claro en qué consiste un proceso estocástico. (Todo lo que ha dicho es que "ni siquiera" es un "proceso estocástico de tiempo discreto".) Estas incertidumbres en su exposición podrían aumentar la confusión en lugar de resolverla.
whuber
@whuber: Edité mi respuesta para aclarar algunos aspectos, pero creo que también entendiste mal la frase "ni siquiera".
Wrzlprmft
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Agradezco todas las discusiones / comentarios aportados sobre el tema de las series temporales vs el proceso estocástico. Aquí entiendo la diferencia: las series de tiempo son un fenómeno observado, registrado como una serie de números que se indexa con el tiempo de observación; Es muy probable que se trate de una serie de observaciones de un fenómeno de la vida real, como los precios de las acciones en la Bolsa de Nueva York. Por otro lado, el proceso estocástico se entiende siempre como una representación matemática (no una producción) de la serie temporal.

Mago
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Los procesos estocásticos son más generales que las series temporales. Por ejemplo, las cadenas de Markov son procesos estocásticos que no son series de tiempo.
Michael R. Chernick
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@Michael Chernick: ¿No es coherente Markov Chain con las definiciones: "un conjunto de variables aleatorias indexadas por enteros t" y "un proceso estocástico indexado por enteros"? ¿Qué partes de estas definiciones de Markov Chains no satisfacen o estás en desacuerdo con estas definiciones?
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