Derivada de un proceso gaussiano

Creo que la derivada de un proceso gaussiano (GP) es otra GP, por lo que me gustaría saber si hay ecuaciones de forma cerrada para las ecuaciones de predicción de la derivada de una GP. En particular, estoy usando el núcleo de covarianza exponencial al cuadrado (también llamado gaussiano) y quiero saber cómo hacer predicciones sobre la derivada del proceso gaussiano.

¿Qué quieres decir con la derivada del GP? ¿Generas al azar una curva a partir de la BP,

y luego tomas la derivada?

x (t)

$x(t)$

Placidia

@Placidia, no, quiero decir calcular

, que creo que debería ser otro proceso gaussiano

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

Buena pregunta. Sin embargo, me parece recordar que el movimiento browniano es a la vez un médico de cabecera y en ningún lugar diferenciable. Así que no estoy seguro de que pueda haber una expresión genérica. Por supuesto, x (t) -x (th) debería ser gaussiano, por lo que debería ser posible, dada la función de covarianza, pensar en probabilidades al respecto para una h dada.

conjeturas

@conjectures, es por eso que dije específicamente que tengo un GP donde la función del kernel es el exponencial cuadrado (ya que sé que ese es infinitamente diferenciable) y en realidad solo estaba buscando el caso derivado en mi ejemplo. Pero buen punto, sin embargo!

Respuestas:

La respuesta corta: Sí, si su Proceso Gaussiano (GP) es diferenciable, su derivada es nuevamente un GP. Se puede manejar como cualquier otro GP y puede calcular distribuciones predictivas.

Pero dado que un GP y su derivada están estrechamente relacionados, se pueden inferir propiedades de uno u otro. $G$ $G'$

Existencia de $G'$

Un GP de media cero con función de covarianza es diferenciable (en cuadrado medio) si $K$ existe. En ese caso, la función de covarianza dees igual a. Si el proceso no es cero, entonces la función media también debe ser diferenciable. En ese caso, la función de medio dees la derivada de la función media de. $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

(Para más detalles, ver por ejemplo el Apéndice 10A de A. Papoulis "Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos")

Dado que el núcleo exponencial gaussiano es diferenciable de cualquier orden, esto no es un problema para usted.

Distribución predictiva para $G'$

$G'$

$G'$ $G$ $G$

$G'$ $G$ $G$ $K'$

gg
fuente

No entiendo tu pregunta. Hay una fórmula explícita para la función de covarianza y la función media dada anteriormente (y en 9.4 de Rasmussen / Williams). Como esto es todo lo que hay que saber y usar un médico de cabecera, ¿qué más se puede pedir?

G^{'}

$G'$

¿Es posible que confunda la función media y los caminos del proceso? Tenga en cuenta que la función media es más suave que las rutas y puede ser diferenciable aunque el proceso no lo sea. Pero la función media es una función determinista, no un proceso, por lo que no hay variación que pueda calcularse.

Es. Ver Rasmussen y Williams sección 9.4 . Además, algunos autores discuten enérgicamente contra la perrera exponencial cuadrada: es demasiado suave.

Yair Daon
fuente

Entonces, ¿hay una distribución predictiva para la derivada?