Transformada de Fourier 4 veces = función original (del libro de Bracewell)

Estaba mirando "La transformación de Fourier y sus aplicaciones" de Ronald Bracewell, que es un buen libro de introducción sobre las transformadas de Fourier. En él, dice que si toma el FT de una función 4 veces, recupera la función original, es decir,

$$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$$

¿Alguien podría mostrarme cómo es posible? Supongo que la declaración anterior es para x complejo, y esto tiene algo que ver con , , , , ?$i^0=1$$i^1=i$$i^2=-1$$i^3 = -i$$i^4=1$

Gracias por tu iluminación.

Usaré la transformada de Fourier no unitaria (pero esto no es importante, es solo una preferencia):

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$$

donde (1) es la transformada de Fourier y (2) es la transformada inversa de Fourier.

Ahora, si tomas formalmente la transformada de Fourier de obtienes$X(\omega)$

$$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$$

Comparando (3) con (2) tenemos

$$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$$

Entonces, la transformada de Fourier es igual a una transformada inversa de Fourier con un cambio de signo de la variable independiente (aparte de un factor de escala debido al uso de la transformada de Fourier no unitaria).

Como la transformada de Fourier de es igual a , la transformada de Fourier de (4) es$x(-t)$$X(-\omega)$

$$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$$

Y, mediante un argumento similar al utilizado en (3) y (4), la transformada de Fourier de es igual a . Entonces obtenemos para la transformada de Fourier de (5)$X(-\omega)$$2\pi x(t)$

$$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$$

cual es el resultado deseado Tenga en cuenta que el factor en (6) es una consecuencia del uso de la transformada de Fourier no unitaria. Si usa la transformación de Fourier unitaria (donde tanto la transformación como su inversa obtienen un factor ) este factor desaparecería.$(2\pi)^2$$1/\sqrt{2\pi}$

En resumen, aparte de factores constantes irrelevantes, obtienes

$$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$$