¿Qué efecto tiene un retraso en el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia?

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Si tengo una señal de tiempo limitado, digamos una sinusoide que solo dura segundos, y tomo la FFT de esa señal, veo la respuesta de frecuencia. En el ejemplo, esto sería un pico en la frecuencia principal de la sinusoide. $T$

Ahora, digamos que tomo la misma señal de tiempo y la retardo por un tiempo constante y luego tomo el FFT, ¿cómo cambian las cosas? ¿La FFT puede representar ese retraso de tiempo?

Reconozco que un retraso de tiempo representa un cambio de en el dominio de la frecuencia, pero me está costando mucho determinar qué significa eso realmente . $\exp(-j\omega t)$

Hablando en términos prácticos, ¿es el dominio de la frecuencia un lugar apropiado para determinar el retraso de tiempo entre varias señales?

fft fourier-transform delay gallamina
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Depende de lo que quieras decir con FFT. Digamos que su señal original tenía muestras de tiempo. Supongamos que el retraso es de muestras. Entonces ahora tienes muestras con las primeras siendo . ¿Estás calculando el FFT de las primeras muestras (igual que antes)? de las muestras ? de la última de las muestras? La respuesta dependerá de lo que quiera decir con FFT ...

N

$N$

100

$100$

N + 100

$N+100$

100

$100$

0

$0$

N

$N$

N + 100

$N+100$

N

$N$

N + 100

$N+100$

Dilip Sarwate

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@Dilip Estoy buscando una respuesta más general. ¿Quizás sería útil una explicación de lo que cambiaría en esos escenarios?

gallamina

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Si pasa la última de las muestras a su subrutina FFT de punto , obtendrá la misma FFT que tenía antes. No hay diferencia alguna. Si pasa la primera de las muestras (con las primeras muestras siendo ) a su subrutina FFT de punto , obtendrá cosas que son difíciles de interpretar. Lea la respuesta de @JasonR cuidadosamente, que le dice que si las primeras muestras se llenan de sus datos a través de un desplazamiento circular o cíclico , verá el retraso reflejado en la fase de las muestras.

N

$N$

N + 100

$N+100$

N

$N$

N

$N$

N + 100

$N+100$

100

$100$

0

$0$

N

$N$

100

$100$

Dilip Sarwate

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La transformada discreta de Fourier (DFT) , comúnmente implementada por la transformada rápida de Fourier (FFT) , asigna una secuencia de longitud finita de muestras de dominio de tiempo discretas en una secuencia de longitud igual de muestras de dominio de frecuencia. Las muestras en el dominio de la frecuencia son en general números complejos; representan coeficientes que pueden usarse en una suma ponderada de funciones exponenciales complejas en el dominio del tiempo para reconstruir la señal original en el dominio del tiempo.

Estos números complejos representan una amplitud y fase que está asociada con cada función exponencial. Por lo tanto, cada número en la secuencia de salida FFT se puede interpretar como:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{- j 2 π n k}{N}} = A_{k} e^{j ϕ_{k}}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{\frac{-j 2 \pi n k}{N}} = A_k e^{j \phi_k}$

Puede interpretar esto de la siguiente manera: si desea reconstruir x [n], la señal con la que comenzó, puede tomar un montón de funciones exponenciales complejas , ponderar cada uno de ellos por, y sumarlos. El resultado es exactamente igual (con precisión numérica) a. Esta es solo una definición basada en palabras del DFT inverso. $e^{\frac{j 2 \pi n k}{N}}, k = 0, 1, \ldots, N-1$ $X[k] = A_k e^{j \phi_k}$ $x[n]$

Entonces, hablando de su pregunta, los diversos sabores de la transformada de Fourier tienen la propiedad de que un retraso en el dominio del tiempo se asigna a un cambio de fase en el dominio de la frecuencia. Para el DFT, esta propiedad es:

x [n] \leftrightarrow X [k]

$x[n] \leftrightarrow X[k]$

x [n - D] \leftrightarrow e^{\frac{- j 2 π k D}{N}} X [k]

$x[n-D] \leftrightarrow e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}X[k]$

Es decir, si retrasa su señal de entrada con muestras, entonces cada valor complejo en la FFT de la señal se multiplica por la constante $D$ . Es común que las personas no se den cuenta de que las salidas de DFT / FFT son valores complejos, porque a menudo se visualizan solo como magnitudes (o, a veces, como magnitud y fase). $e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}$

Editar: Quiero señalar que hay algunas sutilezas en esta regla para el DFT debido a su finitud en la cobertura de tiempo. Específicamente, el cambio en su señal debe ser circular para que la relación se mantenga; es decir, cuando retrasa por muestras, necesita ajustar las últimas muestras que estaban al final de al frente de la señal retrasada. Esto realmente no coincidiría con lo que vería en una situación real donde la señal simplemente no comienza hasta después del comienzo de la apertura DFT (y está precedida por ceros, por ejemplo). Siempre puede evitar esto rellenando con cero la señal original $x[n]$ $D$ $D$ $x[n]$ $x[n]$ de modo que cuando se demora por muestras , simplemente envuelve ceros al frente de todos modos. Esta relación solo se aplica a la DFT ya que es finita en el tiempo; No se aplica a la transformación clásica de Fourier ni a la transformación de Fourier de tiempo discreto . $D$

Jason R
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Gallamina

Esto simplemente significa que habrá un desfase en su vector FFT. Cuando FFT su señal (real), su respuesta será compleja, por lo que tendrá una parte real e imaginaria. Si tomó su fase, (inverse_tangent (imag / real)), esto mostrará todas las fases de las frecuencias. La forma en que sus fases difieren de si no tuvo retraso se relaciona directamente con el retraso que tiene a tiempo.

(En matlab también puede obtener la fase simplemente con "angle (fft_result)").

Por cierto, si hace una correlación de su señal con retraso y sin retraso y elige el pico, puede obtener el retraso de esa manera. En el dominio freq, resta todas las fases de su señal sin demora, de toda la señal con demora, y toma el promedio.

Spacey
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Hay demasiadas cosas sin decir y sin especificar en esta respuesta. Mohammad esencialmente está asumiendo un cambio circular de los datos sin decirlo. Vea la respuesta de @ JasonR (editado) para una descripción cuidadosa de este punto, y mi comentario sobre la pregunta principal que dice que hay muchas formas de usar la FFT y todas dan resultados diferentes

Dilip Sarwate

@DilipSarwate tiene razón, esto supone un cambio circular de datos. Como señaló, hay sutilezas en la FFT basadas en el vector de entrada.

Spacey

@gallamine, se puede saber cuáles son sus vectores de datos se parece, exmaple: - Señal 1: [someZeros, señal, someZeros] - Señal 2: [someDifferentNumberOfZeros, señal, someDifferentNumberOfZeros]

Spacey

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$\sin(\omega t)$ $\omega$

aman profundo
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Hola aman Bienvenido a Signals.SE. ¿Podría tomarse un poco de tiempo y formatear un poco su respuesta? Tenemos habilitado MathJax , que generalmente preferimos para las ecuaciones. Hice una edición parcial rápida que tiene algunos ejemplos si no la ha usado antes. Gracias por su contribución, y nuevamente, ¡bienvenido al sitio!

Datageist

¿Qué efecto tiene un retraso en el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia?

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