Diferencia entre transformada de Fourier de tiempo discreto y transformada de Fourier discreta

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He leído muchos artículos sobre DTFT y DFT, pero no puedo discernir la diferencia entre los dos, excepto algunas cosas visibles como DTFT va hasta el infinito, mientras que DFT es solo hasta N-1. ¿Alguien puede explicar la diferencia y cuándo usar qué? Wiki dice

La DFT difiere de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) en que sus secuencias de entrada y salida son finitas; Por lo tanto, se dice que es el análisis de Fourier de las funciones de tiempo discreto de dominio finito (o periódico).

¿Es la única diferencia?

Editar: este artículo explica muy bien la diferencia

BaluRaman
fuente
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El DTFT es una función continua de frecuencia, pero el DFT es una función discreta de frecuencia.
John
El punto clave es,DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT
nmxprime
@nmxprime ¿Quiere decir que DFT es una versión muestreada de DTFT?
endolito
1
@endolith Sí, es
nmxprime
El artículo que vinculó (página 2) dice que "CTFT nos dio un espectro de frecuencia discreto". ¿No está mal eso? Pensé que la frecuencia era continua en ese caso de señal aperiódica de tiempo continuo que experimentaba la Transformada de Fourier.
Aditya P

Respuestas:

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La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) es la transformada de Fourier (convencional) de una señal de tiempo discreto. Su salida es continua en frecuencia y periódica. Ejemplo: para encontrar el espectro de la versión muestreada de una señal de tiempo continuo x ( t ) se puede usar el DTFT.x(kT)x(t)

La transformada discreta de Fourier (DFT) puede verse como la versión muestreada (en dominio de frecuencia) de la salida DTFT. Se usa para calcular el espectro de frecuencia de una señal de tiempo discreto con una computadora, porque las computadoras solo pueden manejar un número finito de valores. Yo diría que la salida DFT es finita. También es periódico y, por lo tanto, puede continuarse infinitamente.

Para resumirlo:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Una propiedad matemática de la DFT es que tanto su entrada y salida son periódicas con la longitud DFT . Es decir, aunque el vector de entrada al DFT es finito en la práctica, solo es correcto decir que el DFT es el espectro muestreado si se piensa que la entrada DFT es periódica.N

Deve
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¿No quisiste decir que la entrada DTFT está en finito?
Dr. Lutz Lehmann
@LutzL Puede ser infinito en general, sí. Voy a cambiar eso ¿Qué pasa con la salida DFT: prefieres llamarlo finito o periódico ?
Deve
Creo que la salida de DFT es N-periódica, secuencia finita
BaluRaman
1
En el DFT, mucho depende de la interpretación. Desde el punto de vista técnico, se transforma finito a finito. Desde el punto de vista de que calcula los coeficientes de un polinomio trigonométrico, se podría decir que transforma el periódico discreto infinito en finito. Pero se puede cambiar la ventana de frecuencias utilizadas para representar la entrada, y las amplitudes sobre todas las frecuencias posibles forman nuevamente una secuencia periódica.
Dr. Lutz Lehmann
Para ser más consistente, pondría "periódico" en lugar de "finito" para la entrada del DFT. Esta es una consecuencia directa de que el DFT (salida) es discreto.
Matt L.
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Muy bien, voy a responder a esto con un argumento que tienen los "oponentes" a mi rígida posición nazi con respecto al DFT.

En primer lugar, mi posición rígida, nazi : la serie DFT y la serie discreta de Fourier es la misma. el DFT asigna una secuencia infinita y periódica, x[n] con el período N en el dominio "tiempo" a otra secuencia infinita y periódica, X[k] , nuevamente con el período N , en el dominio "frecuencia". y el iDFT lo mapea de nuevo. y son "inyectables" o "invertibles" o "uno a uno".

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N

x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N

eso es fundamentalmente lo que es el DFT. es inherentemente una cosa periódica o circular.

pero a los negadores de periodicidad les gusta decir esto sobre el DFT. es cierto, simplemente no cambia nada de lo anterior.

x[n]N

x^[n]{x[n]for 0nN10otherwise

ahora, esta secuencia infinita que no se repite tiene un DTFT:

DTFT:

X^(ejω)=n=+x^[n]ejωn

X^(ejω) es la transformación Z de evaluada en el círculo unitario para infinitamente muchos reales valores de . ahora, si tuviera que probar esa DTFT en puntos igualmente espaciados en el círculo unitario, con un punto en , obtendríasx^[n]z=ejωωX^(ejω)Nz=ejω=1

X^(ejω)|ω=2πkN=n=+x^[n]ejωn|ω=2πkN=n=+x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x^[n]ej2πkn/N=n=0N1x[n]ej2πkn/N=X[k]

así es como se relacionan DFT y DTFT. muestrear la DTFT a intervalos uniformes en el dominio de "frecuencia" hace que, en el dominio de "tiempo", la secuencia original sea ​​repetida y desplazada por todos los múltiplos de y añadida solapada. eso es lo que causa el muestreo uniforme en un dominio en el otro dominio. pero, dado que se supone que es fuera del intervalo , esa suma de superposición no hace nada. solo extiende periódicamente la parte distinta de cero de , nuestra secuencia original de longitud finita, .x^[n]Nx^[n]00nN1x^[n]x[n]

robert bristow-johnson
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La respuesta aceptada fue buena, pero su respuesta me pareció más perspicaz. Gracias por proporcionar la conexión matemática real entre DTFT y DFT ... especialmente el muestreo de los espectros que causan periodicidad en el dominio del tiempo. Ese es un punto que siempre olvido.
rayryeng - Restablece a Monica
Su segundo párrafo parece implicar que los DFT aceptan secuencias de entrada de longitud infinita. ¿Alguien ha realizado alguna vez un DFT de longitud infinita?
Richard Lyons
Hola Rick, es bueno verte aquí desde comp.dsp . Recuerdo que fue recibido por @PeterK cuando migré por primera vez (pero nunca dejaré comp.dsp ). de todos modos, en el mismo grado en que el DFS acepta una secuencia de entrada de longitud infinita es el grado en que el DFT acepta una entrada de longitud infinita. Todo lo que digo es que el DFT y el DFS son uno y el mismo.
Robert Bristow-Johnson
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@robert bristow-johnson. Esta fue una hermosa explicación. mi pregunta puede ser mala, pero, por discreta serie de Fourier, te estás refiriendo al caso en el que la entrada es una función periódica continua que continúa infinitamente en ambas direcciones, ¿correcto? Por lo que recuerdo decir, al leer el libro Dover de George Silov, si hace que el número de coeficientes de Fourier sea lo suficientemente grande mediante el uso de una cuadrícula de frecuencias lo suficientemente fina, entonces la serie de Fourier puede reproducir una función continua de período de manera arbitraria de cerca. esta es la fs a la que te refieres, cuando dices que es lo mismo que DFT, ¿correcto? Gracias.
Mark Leeds
Por discreta serie de Fourier, me refiero a lo mismo que las definiciones DFT e iDFT que se muestran en la respuesta: y, tanto para como para , son periódicos con un período : y es un entero positivo. eso es todo lo que quiero decir con el DFS.
X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
x[n]X[k]N
x[n+N]=x[n]nZ
X[k+N]=X[k]kZ
N
robert bristow-johnson
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Como la salida DTFT es continua, no se puede procesar con computadoras. Entonces tenemos que convertir esta señal continua en forma discreta. No es más que DFT como un avance adicional en FFT para reducir los cálculos.

Gaurav Singhal
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Si estoy en lo correcto, incluso si la entrada DFT es periódica, aunque el número de muestras es finito, las matemáticas detrás de esto lo tratan como una secuencia infinita que comienza periódicamente las Nmuestras después de su finalización. Por favor, corríjame si estoy equivocado.

ubuntu_noob
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algunos en comp.dsp con los que he tenido discusiones podrían "corregirlo", pero están equivocados. no hay diferencia entre el DFT y la serie discreta de Fourier. ninguno en absoluto.
Robert Bristow-Johnson
Para ayudarme a comprender lo que se dice aquí, tengo una pregunta sobre el resultado de la operación que usted llama una "serie discreta de Fourier". ¿Es esa salida una secuencia de números o una función continua (una ecuación)?
Richard Lyons
-1

DFT: SU INVERSIÓN SERÁ: x [ n ] = 1

X[k]=n=0N1x[n]ej2πnk/N
x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πnk/N
usuario25761
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Utilice el marcado de Latex para que su matemática sea legible y explique un poco más del proceso que siguió, para que su respuesta pueda ayudar al OP.
MBaz