Considere una señal de ruido gaussiana blanca .
Si tomamos muestras de esta señal y calculamos la transformada discreta de Fourier, ¿cuáles son las estadísticas de las amplitudes de Fourier resultantes?
fourier-transform
noise
dft
random-process
DanielSank
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Respuestas:
Herramientas matemáticas
Podemos hacer el cálculo utilizando algunos elementos básicos de la teoría de probabilidad y el análisis de Fourier. Hay tres elementos (denotamos la densidad de probabilidad de una variable aleatoriaX al valor x como PX(x) ):
Dada una variable aleatoriaX con distribución PX(x) , la distribución de la variable escalada Y=aX es PAGSY( y) = ( 1 / a )PAGSX( y/ a) .
La distribución de probabilidad de una suma de dos variables aleatorias es igual a la convolución de las distribuciones de probabilidad de los sumandos. En otras palabras, siZ= X+ Y entonces PAGSZ( z) = (PAGSX⊗PAGSY) ( z) dónde ⊗ indica convolución.
La transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es igual al producto de las transformadas de Fourier de esas dos funciones. En otras palabras:
Cálculo
Denota el proceso aleatorio comox ( t ) . El muestreo discreto produce una secuencia de valores.Xnorte que suponemos no estar estadísticamente correlacionados. También asumimos que para cadanorte Xnorte es gaussiano distribuido con desviación estándar σ . Denotamos la función gaussiana con desviación estándarσ por el símbolo solσ entonces diríamos que PAGSXnorte( x ) =solσ( x ) .
Las amplitudes discretas de transformadas de Fourier se definen como
Por lo tanto, la distribución deRXk es la convolución múltiple sobre las funciones solσCn , k :
No es obvio cómo hacer la convolución múltiple, pero usar la regla # 3 es fácil. Denotando la transformada de Fourier de una función porF tenemos
La transformada de Fourier de un gaussiano con anchoσ es otro gaussiano con ancho 1 / σ , entonces obtenemos
Por lo tanto, hemos calculado la distribución de probabilidad de la parte real del coeficiente de FourierXk . Es gaussiano distribuido con desviación estándarσN/2−−−−√ . Tenga en cuenta que la distribución es independiente del índice de frecuenciak , lo que tiene sentido para el ruido no correlacionado. Por simetría, la parte imaginaria debe distribuirse exactamente igual.
Intuitivamente, esperamos que agregar más integración reduzca el ancho de la distribución de ruido resultante. Sin embargo, encontramos que la desviación estándar de la distribución deXk crece comoN−−√ . Esto se debe solo a nuestra elección de la normalización de la transformada discreta de Fourier. Si en cambio lo hubiéramos normalizado así
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import numpy as np; np.std(np.real(np.sum(np.random.normal(0, 1, (10000, 10000)) * np.exp(1.0j * 2 * np.pi * np.linspace(0, 1, 10000) * 50), axis=1)))
. Cuando hago esto, obtengo la salida70
, que es igual aMe gustaría dar otra opinión sobre la respuesta de @ DanielSank. Primero suponemos quevn∼CN(0,σ2) y es iid Su discreta transformada de Fourier es entonces:
Queremos calcular la distribución deVk Para empezar, notamos que desde vn es ruido gaussiano blanco, es simétrico circularmente, por lo que las partes real e imaginaria de su Transformada de Fourier se distribuirán de la misma manera. Por lo tanto, solo necesitamos calcular la distribución de la parte real y luego combinarla con la parte imaginaria.
Entonces nos separamosVk en sus partes reales e imaginarias. Tenemos:
Dónde:
Y:
Now we work on deriving the distribution ofR{Vk}1 and R{Vk}2 . As in @DanielSank's answer, we define:
Thus we can write:R{Vk}1=∑n=0N−1xn,k
This allows us the easily apply the following facts about linear combinations of Gaussian random variables. Namely, we know that:
Together, these imply thatxn,k∼N(0,c2n,k2N2σ2) . Now we work on the sum. We know that:
These imply that:
So we have shown that:
Now we apply the same argument toR{Vk}2 . Abusing our notation, we rewrite:
Repeating the same argument, and noting that the Gaussian is a symmetric distribution (so we can ignore the sign difference), gives us:
Since∑N−1n=0s2n,k=N2 as well. So therefore since R{Vk}=R{Vk}1+R{Vk}2 , we get:
So we have shown that:
By circular symmetry, we also know then that:
So sinceVk=R{Vk}+jI{Vk} , we finally arrive at:
Therefore taking the DFT divides the variance by the length of the DFT window -- assuming the window is rectangular of course -- which is the same result as in @DanielSank's answer.
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C(n,k)^2=N/2
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