Estoy tratando de probar la identificación del sistema en presencia de ruido de medición (1) Un ruido gaussiano blanco (2) Ruido de color: rosa, violeta. Cuando estamos estimando parámetros, lo hacemos en presencia de iid, cero ruido medio no correlacionado.
P1: Me gustaría saber si el ruido de color está correlacionado o no. Creo que tienen una distribución diferente, pero no pude encontrar ninguna información si las muestras se correlacionarán o no.
P2: En estimación, suponemos que el ruido es un ruido gaussiano blanco aditivo que no está correlacionado con iid. ¿Qué sucede cuando el ruido no es gaussiano? ¿Cómo estimamos theta? Por ejemplo: donde estamos tratando de estimar . ¿El rendimiento, es decir, MSE, variará con diferentes niveles de ruido coloreado y no coloreado?
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rand()
función) así:Respuestas:
Las muestras de ruido coloreado (tomadas en diferentes momentos) generalmente son variables aleatorias correlacionadas porque la función de autocorrelación del proceso de ruido no es una función delta como lo es en el caso del ruido blanco. Por lo tanto, si suponemos un proceso de media cero (generalmente se supone que el ruido es independiente de su color), entonces la covarianza de dos señales separadas en el tiempo porτ segundos es
R ( τ) dónde R ( t ) =F- 1( S( f) es la función de autocorrelación del proceso (transformación inversa de Fourier de la densidad espectral de potencia). Tenga en cuenta que es posible paraR ( t ) ser cero para algunos valores det (p.ej R ( t ) = sinc( t ) es una función de auto-correlación válida), pero no puede ser cero para todo distinto de cerot .
En cuanto a la función de densidad de cualquier muestra, si el proceso es gaussiano, la muestra es gaussiana incluso si el proceso se ha filtrado con un filtro lineal antes del muestreo. Pero si el proceso no es gaussiano (es, digamos, LaPlacian), entonces, si bien cada muestra será LaPlacian, generalmente no se puede decir lo mismo de las muestras del proceso después del filtrado de ningún tipo. En otras palabras, Gaussianity sobrevive al filtrado lineal, el LaPlacism generalmente no.
Entonces, ¿cómo funciona la estimación de máxima verosimilitud cuando las muestras tienen ruido correlacionado? Considere el caso cuando deseamos estimar la media desconocida de unnorte( μ , 1 ) variable aleatoria, y tenemos dos observaciones X y y . En el caso estándar de observaciones independientes, la función de probabilidad es
¿Y si tenemosn observaciones donde n>2 ? Todo lo anterior aún se aplica. Para ruido gaussiano distribuido idénticamente independiente en las muestras, la media muestral
n−1∑ixi es la estimación de máxima verosimilitud de μ pero en el caso de variables aleatorias gaussianas correlacionadas, tenemos problemas de minimización muy desordenados porque la cuadrática que estamos tratando de minimizar depende de la inversa de la matriz de covarianza y el resultado es una función no lineal de los datos en lugar de una simple y fácil de recuerde el resultado como la media de la muestra.
¿Qué pasa si el ruido no es gaussiano? Se aplican los mismos principios: configure la función de probabilidad y encuentre dónde alcanza su valor máximo, pero los cálculos son bastante diferentes, todo lo que depende de lo que asume o sabe es la densidad conjunta de las observaciones.
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