¿Cuál es la respuesta de fase y magnitud del ruido blanco?

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Me gustaría crear ruido blanco en el dominio de la frecuencia, y luego transformarlo en el dominio del tiempo usando python. Para comprender el problema, simplemente generé ruido blanco en el dominio del tiempo y lo transformé en dominio de frecuencia:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

No me veo en absoluto como esperaba: Bode trama de ruido blanco Preguntas:

  • ¿No se supone que el ruido blanco tiene una respuesta de magnitud plana? (cantidades iguales para todas las frecuencias)
  • ¿Cuál es la relación entre la desviación estándar (1 en mi ejemplo) y la magnitud y fase?

¡Gracias de antemano!

Uffe
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Respuestas:

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¿No se supone que el ruido blanco tiene una respuesta de magnitud plana? (cantidades iguales para todas las frecuencias)

La respuesta de magnitud esperada del ruido blanco es plana (esto es lo que JasonR llama densidad espectral de potencia). Cualquier instancia particular de una secuencia de ruido blanco no tendrá una respuesta plana precisa (esto es a lo que el comentario de JasonR se refiere como espectro de potencia).

De hecho, la transformación de Fourier del ruido blanco es ... ¡ruido blanco!

¿Cuál es la relación entre la desviación estándar (1 en mi ejemplo) y la magnitud y fase?

No habrá relación entre la desviación estándar y la fase. En cuanto a la magnitud, supongamos que es ruido blanco estacionario con media cero y desviación estándar . Entonces la autocorrelación (covarianza) es:norte(t)σ

Rnortenorte(τ)=mi[norte(t)norte(t+τ)]=σ2δ(τ)

Entonces, la densidad espectral de potencia es solo (aunque para tiempo discreto, habrá una escala basada en la duración de la señal).σ2


Preguntas del comentario:

  1. Cuando dices que la transformación de Fourier también es ruido blanco, ¿cómo puedo medir el std-dev cuando la transformación es compleja? ¿Parte real, imaginaria o alguna combinación?

Supongamos que nuestro ruido es de tiempo discreto y es (media cero, gaussiano, ruido blanco con varianza ). Entonces la transformación es:norte[metro]σ2

norte[k]=metro=0 0METRO-1norte[metro]mi-j2πmetrok/ /METRO=metro=0 0METRO-1norte[metro]cos(2πmetrok/ /METRO)+jnorte[metro]pecado(2πmetrok/ /METRO)

y el valor esperado es:

mi[norte[k]]=mi[metro=0 0METRO-1norte[metro]mi-j2πmetrok/ /METRO]=metro=0 0METRO-1mi[norte[metro]]mi-j2πmetrok/ /METRO=0 0

La varianza de la parte real viene dada por:

mi[(norte[k])2]=mi[metro=0 0METRO-1norte[metro]cos(2πmetrok/ /METRO)pag=0 0METRO-1norte[pag]cos(2πpagk/ /METRO)]=mi[metro=0 0METRO-1pag=0 0METRO-1norte[metro]norte[pag]δ[norte-pag]cos(2πmetrok/ /METRO)cos(2πpagk/ /METRO)]=metro=0 0METRO-1mi[norte[metro]2]cos2(2πmetrok/ /METRO)=σ2metro=0 0METRO-1cos2(2πmetrok/ /METRO)=σ2(METRO2+cos(METRO+1)2πk/ /METROpecado(2πMETROk/ /METRO)2pecado(2πk/ /METRO)   )=σ2METRO2

Creo que la parte imaginaria se comportará de la misma manera.

  1. ¿Podría aclararme cómo se relaciona la duración de la señal con la densidad espectral de potencia (para situaciones de tiempo discreto)

Creo que (en base a la derivación anterior), la densidad espectral de potencia (el valor esperado del cuadrado del DFT) se escalará linealmente como la duración.

  1. Si la fase no se ve afectada por el std-dev, qué determina la amplitud de 3 grados y el tipo de distribución (parece ser más uniforme que normal)

Consulte la tabla en la página 2 de este archivo PDF . dice que el argumento (fase) de los coeficientes se distribuirá uniformemente, como usted dice. Captura de pantalla de la tabla incluida a continuación.

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Peter K.
fuente
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Específicamente, los dos conceptos que el OP confunde son la densidad espectral de potencia del ruido blanco y el espectro de potencia de una realización particular de un proceso aleatorio de ruido blanco.
Jason R
¡Gracias! Tengo algunas preguntas de seguimiento. 1: Cuando dices que la transformación de Fourier también es ruido blanco, ¿cómo puedo medir el std-dev cuando la transformación es compleja? ¿Parte real, imaginaria o alguna combinación? 2: ¿Podría aclararme cómo la duración de la señal se relaciona con la densidad espectral de potencia (para situaciones de tiempo discreto) 3: Si la fase no se ve afectada por el std-dev, qué determina la amplitud de 3 grados y el tipo de distribución (parece ser más uniforme que normal)
Uffe
¡Perfecto! Esto explica todas las características de la respuesta de frecuencia. Ahora me queda claro que la amplitud de la fase no era 3, sino , y que el desarrollo estándar de las partes real e imaginaria simplemente depende de la cantidad de elementos en el vector. También puedo confirmar, por experimento, que la parte imaginaria también tiene una varianza de . πσ2METRO2
Uffe
Este es el enlace actual al documento PDF mencionado anteriormente ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ), que está roto.
Invitado
@Guest Gracias! En el futuro, solo intente editar la respuesta con el nuevo enlace. No irá directamente, ya que deberá ser revisado por un usuario con mayor reputación, pero llegará allí (y obtendrá +2 representantes en el proceso).
Peter K.