Limitar el error relativo de derivada dado el error relativo de la función

8

Supongamos que una función puede calcularse de tal manera que el encuadernado por el error relativo es es decir, donde y son, respectivamente, el valor calculado y exacta yR f - ( x ) = f ( x ) ( 1 + r ) f - f f | r | RfRf(x)=f(x)(1+r)fff|r|R

Quiero vincular el error relativo de las siguientes aproximaciones derivadas en términos de y para una generalR fhRf

f(x)f(x+h)f(xh)2hf(x)f(x+h)2f(x)+f(xh)h2

En Ralston y Rabinowitz los límites son Rh y 4Rh2 respectivamente. Pero esto no se ha probado y se ha mencionado de pasada como parte de una explicación sobre la Extrapolación de Richardson.

¿Alguna idea sobre su prueba?

smilingbuddha
fuente
55
Las fórmulas que ha proporcionado no incluyen ambos términos en el error: puede tener un error debido a la inexactitud en la evaluación de y también debido al error de truncamiento ( es demasiado grande). En el caso extremo de que (evaluación exacta de la función), las fórmulas que ha enumerado darían 0 errores, pero todavía habrá un error de truncamiento a tener en cuenta. Es un buen ejercicio derivar las fórmulas para el error de truncamiento y el error debido a evaluaciones de función inexactas y luego ver cómo el error total varía con . h R = 0 hfhR=0h
Brian Borchers
1
Sería útil si pudiera dar una declaración más concreta, o al menos una referencia exacta (teorema y página), para este límite.
Christian Clason

Respuestas:

1

Este teorema ha sido mal interpretado por el autor de la pregunta o hay un error en el libro de referencia. Considere el siguiente ejemplo de contador:

h = 0.01 R = 0.01

f(x)=100+x
h=0.01
R=0.01

En el error absoluto en cada evaluación de función es , entonces tenemos En el peor de los casos, los dos términos de error tienen el mismo signo y no se cancelan. Por lo tanto, el error relativo de la aproximación derivada puede ser tanto como , que es mucho mayor que .100 0.01 = 1 f - ( 0 ) = f - ( h ) - f - ( - h )x=01000.01=1

f(0)=f(h)f(h)2h=(100+0.01)±1((1000.01)±1)0.02
100R/h=1
f(0)=0.020.02±10.02±10.02
100R/h=1

Por lo que puedo decir, no hay límite en el error relativo para una general, ya que al elegir una función de la forma , el error relativo en la aproximación derivada siempre se puede aumentar simplemente aumentando .f ( x ) = n + x nff(x)=n+xn

Por otro lado, podemos calcular un límite dependiente de . El límite en el error absoluto para y suficientemente pequeñas es: Prueba: donde Taylor expandimos alrededor de y descuidamos los términos de orden o o más altos, ya que tanto como son pequeños. De manera similar Por lo tanto, h R f - ( x ) = f ( x + h ) - f ( x - h )fhR f-(x+h)=(f(x)+hf(x))(1±R)

f(x)=f(x+h)f(xh)2h±f(x)Rh
f(x+h)=(f(x)+hf(x))(1±R)
f(x+h)=f(x)+hf(x)±Rf(x)
fxhRh2hR
f(xh)=f(x)hf(x)±Rf(x)
f(x)=2hf(x)±Rf(x)±Rf(x)2h
f(x)=f(x)±Rf(x)h
donde nuevamente consideramos el peor de los casos, en el que los errores se suman.

Por lo tanto, el límite en el error relativo depende de y se puede expresar como f(x)

f(x)=f(x)(1±Rf(x)hf(x))

Del mismo modo tenemos

f(x)=f(x)(1±4Rf(x)h2f(x))
SimonSciComp
fuente
Por supuesto, si entonces el error de truncamiento de vuelve dominante en comparación con el término dehRO(h2)O(R/h)
SimonSciComp
¡Ah, me olvidé por completo de esta recompensa! De todos modos, esto parece cubrirlo bastante bien.
David Z
-1

Para responder a su pregunta directa (y no atender el error de truncamiento del comentario de Brian Borchers):

Según la definición que tiene para , su error relativo , y su definición no lo dice explícitamente, pero no es constante, por lo que el error relativo enis .| ( f - - f ) / f | R r | f - ( x + h ) - f - ( x - h ) | 2 Rf|(ff)/f|Rr|f(x+h)f(xh)|2R

Esto lleva directamente a los errores relativos para que sea y de manera similar para sea . R/hffR/h 4R/h2f4R/h2

Mark Hurd
fuente
2
Esto le da un límite en el valor de , no en el error. f - | f - - f ||f|f |ff|
Christian Clason