Cuadratura numérica con derivados

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La mayoría de los métodos numéricos para la cuadratura tratan el integrando como una función de caja negra. ¿Qué pasa si tenemos más información? En particular, ¿qué beneficio, si alguno, podemos obtener al conocer las primeras derivadas del integrando? ¿Qué otra información podría ser valiosa?

Para derivados en particular: las estimaciones de error para la cuadratura básica (rectángulo / trapzoid / reglas de simpson) están estrechamente relacionadas. ¿Quizás haya una manera de preseleccionar la resolución de muestreo en lugar de confiar en la adaptabilidad dinámica?

Estoy interesado tanto en el caso univariado como en el multidimensional.

quadrature error-estimation MRocklin
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Solo una pequeña corrección: el rectángulo, el trapecio y la regla de Simpson son reglas de tipo Newton-Cotes, no cuadraturas gaussianas.

Pedro

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Creo que esto no es exactamente lo que tenía en mente, pero en aras de la exhaustividad, comencemos con algunos conceptos básicos. La mayoría de las fórmulas en cuadratura como Newton-Cotes y Gauss se basan en la idea de que, para evaluar aproximadamente la integral de una función, puede aproximar la función mediante, por ejemplo, un polinomio que luego puede integrar exactamente:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes y Gauss se basan en la interpolación de Lagrange , lo que significa que interpola la función dada utilizando sus valores en un conjunto de nodos (que están espaciados uniformemente para Newton-Cotes y elegidos de manera óptima en cierto sentido para Gauss). En este caso, , y las integrales sobre las funciones de base nodal polinomial son exactamente los pesos en cuadratura. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

El mismo enfoque funciona con la interpolación de Hermite , es decir, la interpolación que utiliza los valores de una función y sus derivados hasta cierto orden en un conjunto de nodos. Solo en el caso de la función y los valores de la primera derivada, tiene (Hay una implementación de Matlab de esto, si desea ver cómo funciona).

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Esto está relacionado con una variante de la cuadratura de Gauss llamada cuadratura de Gauss-Legendre, donde los nodos se eligen precisamente para hacer que desaparezcan los pesos (que es otra explicación del hecho de que la cuadratura de Gauss con nodos es exacta del orden ) Creo que esto al menos parcialmente responde a su pregunta en el segundo párrafo. Por esta razón, la cuadratura de Gauss generalmente se usa en lugar de la interpolación de Hermite, ya que obtienes el mismo orden con el mismo número de puntos, pero no necesitas información derivada. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Para la cuadratura multidimensional, enfrenta el problema de que el número de derivados (incluidos los derivados mixtos) que necesita evaluar aumenta muy rápidamente a medida que aumenta el orden.

Volviendo a su pregunta: una forma directa de explotar la información derivada sería usar una subdivisión de su dominio de integración y usar una cuadratura separada para cada división. Si sabe que las derivadas de su función son grandes en alguna parte del dominio, usaría dominios más pequeños (en efecto, una fórmula de cuadratura sumada) o un orden de cuadratura más alto. Esto está relacionado con la adaptabilidad h y p , respectivamente, en los métodos de elementos finitos.

Christian Clason
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Existen varias reglas de integración "corregidas" que invocan derivados de los puntos finales. Un ejemplo simple es la regla trapezoidal corregida. Supongamos que deseamos aproximar la integral

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

Sea un número entero y . Entonces la regla trapezoidal $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

proporciona una aproximación simple a la integral, con error de orden . Sin embargo, la regla trapezoidal "corregida": $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

Aumenta enormemente la precisión. Por ejemplo, considere

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

y elige . El valor exacto de , a 14 decimales, es $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

Y los valores de y son $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

respectivamente. Los errores son

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

y

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

mostrando un notable aumento en la precisión. Hay más correcciones que involucran derivados más altos, o que comienzan con otras reglas de Newton-Cotes o reglas de tipo gaussiano.

Alasdair
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Además de los métodos basados en Newton-Cotes mencionados en las otras respuestas, existe lo que ahora se llama cuadratura de Gauss-Turán (ver, por ejemplo, esto y esto , así como la venerable referencia de Walter Gautschi). Esta es una generalización de la cuadratura gaussiana habitual, donde ahora se puede explotar el conocimiento de las derivadas de una función para encontrar un conjunto óptimo de abscisas y pesos que produzcan una regla de cuadratura que integre funciones de la forma $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ exactamente. Como se esperaba, para usar esta regla, ahora se espera que uno pueda evaluar su función y varias de sus derivadas en puntos reales arbitrarios. Una búsqueda en los lugares habituales debería ser capaz de mostrar algunas referencias más.

JM
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Aunque este hilo es bastante antiguo, pensé que podría ser útil tener una referencia a un artículo revisado por pares para generalizar algunas reglas comunes de cuadratura.

Nenad Ujevic, "Una generalización de la regla de Simpson modificada y los límites de error", ANZIAM Journal, vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Pensé que sería útil dar una buena referencia que sea de libre acceso y que tenga referencias a otros documentos.

Como señaló Alasdair anteriormente, incluir derivados de los puntos finales puede aumentar notablemente la precisión. Por ejemplo, Ujevic y Roberts mostraron que agregar las primeras derivadas a la Regla de Simpson reduce el error al sexto orden en el espaciado de la cuadrícula, mientras que es el cuarto orden sin las derivadas. El documento de Ujevic muestra que se pueden encontrar límites de error aún más estrictos.

N. Ujevic y AJ Roberts, una fórmula en cuadratura corregida y aplicaciones, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason sugirió que moviera un comentario que hice a la respuesta porque pensó que las referencias que doy son buenas y podrían perderse si los comentarios se eliminan en algún momento).

Lisístrata
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¿Puedes comentar sobre los resultados presentados en el artículo?

nicoguaro

¡Ahora puedo tener suficientes puntos de repetición! Pensé que sería útil dar una buena referencia que sea de libre acceso y que tenga referencias a otros documentos. Como Alasdair señaló anteriormente, la inclusión de derivados de los puntos finales puede aumentar notablemente la precisión. Por ejemplo, en la referencia 6 del artículo al que me vinculé, Roberts y Ujevic mostraron que agregar primeras derivadas a la Regla de Simpson reduce el error al sexto orden en el espaciado de la cuadrícula, mientras que es el cuarto orden sin las derivadas. El documento de Ujevic muestra que se pueden encontrar límites de error aún más estrictos.

Lisístrata

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@ Lisistrata Esa es una buena referencia. ¿Puedes editar tus comentarios en la respuesta misma? Los comentarios pueden desaparecer, y sería una pena perderlos.

Christian Clason

Cuadratura numérica con derivados

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