¿Cómo puedo aproximar una integral impropia?

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Tengo una función $f(x,y,z)$ tal que
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$
es finita, y quiero aproximar esta integral.

Estoy familiarizado con las reglas de cuadratura y las aproximaciones de las integrales de Monte Carlo, pero veo algunas dificultades para implementarlas en un dominio infinito. En el caso de Monte Carlo, ¿cómo se hace para muestrear una región infinita (especialmente si las regiones que contribuyen más significativamente a la integral son desconocidas)? En el caso de la cuadratura, ¿cómo encuentro los puntos óptimos? ¿Debo simplemente arreglar una región arbitrariamente grande centrada alrededor del origen y aplicar reglas de cuadratura dispersas? ¿Cómo puedo aproximarme a esta integral?

monte-carlo quadrature Paul
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En una dimensión, puede asignar su intervalo infinito a un intervalo finito utilizando la integración por sustitución, p. Ej.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Donde es alguna función que se dispara al infinito en un rango finito, por ejemplo, : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Luego puede usar cualquier rutina de cuadratura numérica regular para la integral finita modificada.

La sustitución de múltiples variables es un poco más complicada, pero aquí se describe bastante bien .

Pedro
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Eso es muy interesante ... ¡Nunca consideré la posibilidad de sustitución! Pero, ¿la elección de la función

tiene algún efecto en la precisión de la aproximación?

u (t)

$u(t)$

Paul

@Paul: ¡Sí, definitivamente! La función

debe ser lo más suave posible para mantener

más suave posible, permitiendo así una integración más precisa.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

Pedro

Eso es cierto, pero lo que tenía en mente era la velocidad a la que u (t) converge al infinito. ¿Eso también afecta la precisión?

Paul

1

@Paul: No sé si entiendo tu pregunta correctamente, pero la función tiene que terminar en el infinito en un momento u otro. Si se toma su tiempo y luego crece bruscamente, esto introducirá algunos gradientes grandes en

, lo que dificulta la integración y, por lo tanto, podría afectar la precisión.

f (u (t))

$f(u(t))$

Pedro

1

Su derivada para la tangente estaba equivocada; Lo arreglé.

JM

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La forma estándar de hacerlo es extraer de la expresión para un prefactor exponencial, transformarlo en , y luego usar las reglas de la cuadratura gaussiana (o Gauss Kronrod) con esto como un peso. Si es suave, esto generalmente da excelentes resultados. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

En , lo mismo funciona con el peso , y se pueden encontrar fórmulas de cubicación apropiadas, por ejemplo, en el libro de Engels, cuadratura numérica y cubicación. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Las fórmulas en línea están en http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

Arnold Neumaier
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2

Eso funciona bien si su integrando es aproximadamente exp (-x ^ 2). Si su integrando es aproximadamente normal, pero está centrado lejos del origen, este enfoque puede funcionar mal.

John D. Cook

1

@ JohnD.Cook: Por eso escribí '' extrae un prefactor exponencial, transfórmalo a

'', que generalmente implica una transformación lineal, combinando una traslación que mueve el centro al origen, y rotaciones y escalas para hacer el el nivel establece aproximadamente esférico. La función en sí puede estar bastante lejos de lo normal.

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

Arnold Neumaier

7

Para la cuadratura unidimensional, puede consultar el libro en Quadpack (un viejo dorado pero aún muy relevante en la cuadratura unidimensional) y las técnicas utilizadas en el algoritmo QAGI, un integrador automático para un rango infinito.

Otra técnica es la fórmula de cuadratura doble exponencial, bien implementada por Ooura para un intervalo infinito .

Para la cubicación, puede consultar la Enciclopedia de fórmulas de cubicación de Ronald Cools.

GertVdE
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2

Tenga en cuenta que la cuadratura doble exponencial es esencialmente un método de sustitución; realiza una sustitución que transforma su integral de rango infinito en otra integral de rango infinito cuya tasa de descomposición es, bueno, doble exponencial ...

JM

1

@JM Correcto. Y lo hace para obtener lo mejor de la fórmula de suma de Euler-Mclaurin para la regla del trapecio, al igual que la transformación IMT y la transformación TANH. Aquí

GertVdE

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$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

Wolfgang Bangerth
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Si desea utilizar la integración de Monte Carlo, puede comenzar utilizando el muestreo de importancia con un muestreador que se aproxima aproximadamente a su integrando. Cuanto mejor coincida su muestra con su integrando, menor será la variación en sus estimaciones integrales. No importa que su dominio sea infinito siempre que su muestra tenga el mismo dominio.

John D. Cook
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